【數學】請問質式要怎麼判別??

[喵咪-- 10]

請問質式要怎麼判別??

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3.請將自己的想法論述在描述無法解決的部分

副版 小傻

[00 10]

我假設你指的是有理係數的多項式

1.沒有一般的方法

2.有一個判別法是

設f(x)=anx^n+an-1x^n-1+......+a1x+a0是一個整係數多項式，若存在一質數p使得

p∣an不成立

p∣an-1,p∣an-2......p∣a0成立

p^2∣a0不成立

則f(x)在有理數集上是不可約的

如果有人找到證明，麻煩貼一下，證明我也不知道。

3.另外還有一個方法（其實是廢話），若證明出n次式沒有n/2次以下的多項式是它的因式，那該多項式就是質式。

[weiye 10]

2.有一個判別法是

設f(x)=anx^n+an-1x^n-1+......+a1x+a0是一個整係數多項式，若存在一質數p使得

p∣an不成立

p∣an-1,p∣an-2......p∣a0成立

p^2∣a0不成立

則f(x)在有理數集上是不可約的

如果有人找到證明，麻煩貼一下，證明我也不知道。

艾森斯坦判別法(Eisenstein's criterion)

中文： http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%89%BE%E6%A3%AE%E6%96%AF%E5%9D%A6%E5%88%A4%E5%88%A5%E6%B3%95&variant=zh-tw

英文： http://en.wikipedia.org/wiki/Eisenstein%27s_criterion

這是在代數學裡面會學到的一個定理，用來判別有理係數多項式是不是在有理係數多項式的體裡面是 irreducible.(亦即，無法更進一步再分解成兩個有理係數多項式的乘積)

由於 wikipedia 裡面提供的初等證明還是可能要學過一點 代數學 才會看得懂。

http://web.ew.usna.edu/~wdj/book/node102.html

↑↑↑↑↑↑ 這裡提供一個沒有用到 代數學 的證明。

我把它翻成中文：

Theorem 2.12.3 (Eisenstein's criterion) 假設質數可以整除整係數多項式除了領導係數以外的其他所有係數，且常數項沒辦法被 整除，則此多項式無法分解成兩個整係數多項式的乘積。

proof: 假設 滿足此定理的假設，也就是已知當 時，，且同時 及 。

接下來要利用矛盾證法，也就是假設 f(x)可以分解成兩個整係數多項式的乘積，寫作 ，其中

, 皆為整係數多項式，為了方便書寫，假設只要，則令 ，且只要，則令 ，如此就可以利用比較乘開之後 x^t 的係數，而得

(2.2)

其中，當 t=0 的時候，可得，因為 且 ，所以 p 一定恰為 a0 或 b0 其中之一的因數，且不同時為 a0 與 b0 此兩數之因數，不失一般性，我們可以假設 且 。

因為已知 b0 到 bk 裡面至少有一個係數可以被 p 整數整數，所以假設 是滿足不被 整除的裡面下標最小的一個(譯註：亦即 p 是 b0, b1, ... b_{t-1} 的因數，但 p 不是 bt 的因數，因為 f(x) 係數不完全被 p 整除，所以可以知道 t≦k，且因為m≧1，所以t<n)，因為由上一段推得，所以可以知道。

觀察滿足此條件 t 的 at ，觀察等式 (2.2) 的左邊，可以發現因為 整除b0, b1, ... b_{t-1} ，且 p 不是 c0 也不是 bt 得因素，所以 at 不是 p 的因數，可是由假設的已知，可以知道 p 可以整除除了 an 以外的所有係數(當然也包含) at ，由此產生矛盾，故滿足此定理的前提的 f(x) 必無法分解成兩個整係數多項式的乘積。(得證！)