【分享】以前的聯考的難題

[00 10]

好像是七十幾年吧，這題可能不少人看過，解法也很多，我是覺得還頗值得討論的。

π/2＞θ＞0，試求2/sinθ+3/cosθ的最小值。有想法的就回一下吧。

[2sky 10]

柯西

令K=4/sin^2θ+9/cos^2θ(喔 會更複雜嘛XD)

K(sin^2θ+cos^2θ)>=(2sin+3cos)^2

[黃昏Dacapo 10]

柯西

設欲求=K

K(sin^2+cos^2)>=(2sin+3cos)^2

如果令欲求=K

(2/sinθ+3/cosθ)(sinθ^2+cosθ^2)應該是)>=[(2/sinθ)^(1/2)*sinθ+(3/cosθ)^(1/2)*cosθ]^2

柯西

令K=4/sin^2θ+9/cos^2θ(喔 會更複雜嘛XD)

K(sin^2θ+cos^2θ)>=(2sin+3cos)^2

這樣還是無法解出2/sinθ+3/cosθ的極值啊囧

[2sky 10]

喔 對喔@@

小失誤

嘿嘿被你抓到

[2sky 10]

算幾不等吧

K>=4(3/sin2θ)^1/2

題目變成求3/sin2θ的最小值

y=3/sin2θ y*sin2θ=3 欲求y最小值 sin2θ為最大值1

此時2θ=π/2 (π＞2θ＞0)

K>=4(3^1/2)

[黃昏Dacapo 10]

算幾不等吧

K>=4(3/sin2θ)^1/2

題目變成求3/sin2θ的最小值

y=3/sin2θ y*sin2θ=3 欲求y最小值 sin2θ為最大值1

此時2θ=π/2 (π＞2θ＞0)

K>=4(3^1/2)

嗯...還是不太對

當2θ=π/2，θ=π/4

將θ=π/4代回2/sinθ+3/cosθ會得到5*(2)^2/2

依照你的過程

K>=4(3/sin2θ)^1/2>=4(3^1/2)

但是，第一個等號成立時不代表第二個等號成立

而第二個等號成立時也不保證第一個等號成立

最多只能推導出：

K>=4(3/sin2θ)^1/2>4(3^1/2)

或

K>4(3/sin2θ)^1/2>=4(3^1/2)

看看等號成立條件：

第一個等號(算幾不等式)成立條件為2/sinθ=3/cosθ，此時θ=arctan(2/3)

第二個等號成立條件為sin2θ=1，θ=π/4

事實上，以前我在學柯西時碰到這一題時也煩惱了很久

(聽補習班老師說是一中某次期中考的加分題)

最後不理它直接微分

2/sinθ+3/cosθ=2cscθ+3/secθ

微分結果-2cscθcotθ+3secθtanθ

令式子為0解出θ代回原式(算出來數字很醜囧)

後來我問我朋友，他跟我說要用推廣的柯西不等式來解

不過我沒有繼續問下去xd

[2sky 10]

恩 數字都醜= =

[2sky 10]

那就柯西吧!!

(2/sinθ+3/cosθ)(sinθ^2+cosθ^2)>=[(2/sinθ)^(1/2)*sinθ+(3/cosθ)^(1/2)*cosθ]^2

等式成立 則 sinθ/ [(2/sinθ)^1/2]=cosθ/[(3/cosθ)^1/2]

解得tanθ=(2/3)^1/3

又0<θ<π/2 令a=2^1/3 b=3^1/3 sinθ=a/(a^2+b^2)^1/2 cosθ=b/(a^2+b^2)^1/2

帶回原式得

2(a^2+b^2)^1/2 /a +3(a^2+b^2)^1/2 /b

[×× 空 ×× 10]

用算幾

最大值出現在1/sinθ=1/cosθ或2/sinθ=1/cosθ或1/sinθ=3/cosθ或2/sinθ=3/cosθ

1/sinθ=1/cosθ => (50)^1/2

2/sinθ=1/cosθ => (80)^1/2

1/sinθ=3/cosθ => (90)^1/2

2/sinθ=3/cosθ => (52)^1/2 所以最小值是(50)^1/2？

[×× 空 ×× 10]

算幾不等吧

K>=4(3/sin2θ)^1/2

題目變成求3/sin2θ的最小值

y=3/sin2θ y*sin2θ=3 欲求y最小值 sin2θ為最大值1

此時2θ=π/2 (π＞2θ＞0)

K>=4(3^1/2)

原式是(2/sinθ+3/cosθ)= K >= 4(3/sin2θ)^1/2

sin2θ=1 時 2/sinθ ≠ 3/cosθ

所以等號不會成立只能說K一定比4(3)^1/2大........？

[我是福氣 10]

解法1 → 柯西不等式推廣(點選看講解)

解法2 → 微分(點選看講解)

解法僅供參考，解不好勿怪:$

[weiye 10]

解法1 → 柯西不等式推廣

解法2 → 微分

解法僅供參考，解不好勿怪:$

PS:解法1未指出等號成立的條件，會的請提供，能提供證明更好，哈~ 謝謝:)

第一個方法裡面用到的廣義科西不等式的證明與等號成立條件，

http://myweb.hinet.net/home10/weiye/temp/qq59.pdf

[keith_291 10]

這題用Holder不等式(廣義柯西)可作 底線那字母是o上面有2點 打不出來..

((a1)^p+(a2)^p+....+(an)^p)^1/p((b1)^q+(b2)^q+....+(bn)^q)^1/q大於或等於(a1b1+a2b2+....anbn)

其中1/p+1/q=1

或者用未推廣的柯西用2次

或者原式平方後全換成tanθ 和cotθ再用算幾

或者用微分去求

本題答案是(2^2/3+3^2/3)^3/2

p.s.以上是看過的資料上的作法 自己目前還沒想到算法= ="

補充:

事實上形如a/sinθ^n+b/cosθ^n都可用Holder's inequality處理

其最小值為: (a^2/(n+2)+b^2/(n+2))^(n+2)/2

[germany 10]

用算幾不等式

(2/sinθ+3/cosθ)/2 ≧√2*3/sinθcosθ

2/sinθ+3/cosθ≧2√2*2*3/ 2sinθcosθ

2/sinθ+3/cosθ≧2√12/ sin2θ

因為0<θ<π/2 所以0<θ<π

因此, 當sin2θ=1 也就是θ=π/4時

2/sinθ+3/cosθ有最小值

即2/sinθ+3/cosθ≧2√12/ 1

所以最小值為2√12= 4√3

那答案是這樣嗎?

[keith_291 10]

用算幾不等式

(2/sinθ+3/cosθ)/2 ≧√2*3/sinθcosθ

2/sinθ+3/cosθ≧2√2*2*3/ 2sinθcosθ

2/sinθ+3/cosθ≧2√12/ sin2θ

因為0<θ<π/2 所以0<θ<π

因此, 當sin2θ=1 也就是θ=π/4時

2/sinθ+3/cosθ有最小值

即2/sinθ+3/cosθ≧2√12/ 1

所以最小值為2√12= 4√3

那答案是這樣嗎?

不等式的等號成立條件要注意!

比如算幾不等式(a+b)/2≧(ab)^(1/2) 等號在a=b時成立

你取θ=π/4時2/sinθ並不等於3/cosθ 等號不成立

所以不能取4√3為最小值

[germany 10]

不等式的等號成立條件要注意!

比如算幾不等式(a+b)/2≧(ab)^(1/2) 等號在a=b時成立

你取θ=π/4時2/sinθ並不等於3/cosθ 等號不成立

所以不能取4√3為最小值

對耶!

我都忘了... ...

那我再想想

謝謝你:E建中人真的很厲害耶!!

[chpohoa1 10]

令K=3/cosθ + 2/sinθ ，a,b為待定常數

=> K * √(a^2 + b^2) ≧ K * (acosθ + bsinθ) ≧ [ √(3a) +√(2b) ]^2

=> K ≧ [ √(3a) +√(2b) ]^2 / √(a^2 + b^2)

=>要讓等號成立

√(a^2 + b^2) ≧ acosθ + bsinθ 的條件中

sin(φ+θ)=1 註:[sinφ = a/√(a^2 + b^2)]

即φ+θ = π/2

因此cosθ = sinφ = a/√(a^2 + b^2)

且3b(sinθ^2)=2a(cosθ^2) [科西成立條件]

整理得3(b^3)=2(a^3)，不妨取a=3^(1/3),b=2^(1/3)

代回得K ≧ (2^2/3+3^2/3)^3/2

如果要寫的屌一點直接配出a,b，

不寫出配方過程

[chpohoa1 10]

那就柯西吧!!

(2/sinθ+3/cosθ)(sinθ^2+cosθ^2)>=[(2/sinθ)^(1/2)*sinθ+(3/cosθ)^(1/2)*cosθ]^2

等式成立 則 sinθ/ [(2/sinθ)^1/2]=cosθ/[(3/cosθ)^1/2]

解得tanθ=(2/3)^1/3

又0<θ<π/2 令a=2^1/3 b=3^1/3 sinθ=a/(a^2+b^2)^1/2 cosθ=b/(a^2+b^2)^1/2

帶回原式得

2(a^2+b^2)^1/2 /a +3(a^2+b^2)^1/2 /b

以上論證在邏輯上有重大瑕疵

不等式兩邊都是變數時，等號成立的條件完全不能代表什麼

得到正確答案也僅是答案恰好符合此關係式

否則依照以上邏輯

我可以把(2/sinθ+3/cosθ)(sinθ^2+cosθ^2)換成(2/sinθ+3/cosθ)(cosθ^2+sinθ^2)

等式右方依然是一堆變數，但檢視等號成立條件卻會得到完全不同的答案

話說 以前建中的某數學老師范x榮也曾用過這種錯誤的方法算這題= =

如果要說 必須是同一種變數要配在一起的話

會得到

若 H(x,y) = f(x)+g(y) = L

求J(x,y) = a(x)+b(y)的極值 a,b,f,g>0

則極值會發生在 f(x)/a(x) = g(y)/b(y)

此種顯然不可能正確的結論(不過如果a,b,f,g都是多項式函數似乎是正確的...)

[keith_291 10]

話說 以前建中的某數學老師范x榮也曾用過這種錯誤的方法算這題= =

范老的八卦佚事 Get!!xd

[whitey320 10]

微分可以解媽qq

他有限制範圍說

如果微分...可得-2cosx/(sinx)^2 + 3sinx/(cosx)^2

如其等於零.......2(cosx)^3=3(sinx)^3.....tanx=(2/3)^(1/3) 取x約為41.13度...0.7178弳

囧....我看起來就做錯了:s

其2階導數是...[2(sinx)^3+4sinx(cosx)^2]/(sinx)^4 + [3(cosx)^3+6cosx(sinx)^2]/(cosx)^4

x=41.13度帶入 11.0146+10.059>0 此值乃相對極小值...

帶入一階導數.....7.023?

是類似這個值媽qq

如哪裡算錯請指正 感恩= ='

[bismarck 10]

用廣義柯西就能解了

{(2/sinθ)^1/3 , (3/cosθ)^1/3}

{(2/sinθ)^1/3 , (3/cosθ)^1/3}

{(sinθ)^2/3 , (cosθ)^2/3}

應該會很漂亮...