00 10 發表於 February 5, 2008 檢舉 Share 發表於 February 5, 2008 好像是七十幾年吧,這題可能不少人看過,解法也很多,我是覺得還頗值得討論的。π/2>θ>0,試求2/sinθ+3/cosθ的最小值。有想法的就回一下吧。 鏈接文章 分享到其他網站
2sky 10 發表於 February 6, 2008 檢舉 Share 發表於 February 6, 2008 柯西令K=4/sin^2θ+9/cos^2θ(喔 會更複雜嘛XD)K(sin^2θ+cos^2θ)>=(2sin+3cos)^2 鏈接文章 分享到其他網站
黃昏Dacapo 10 發表於 February 6, 2008 檢舉 Share 發表於 February 6, 2008 柯西設欲求=KK(sin^2+cos^2)>=(2sin+3cos)^2如果令欲求=K(2/sinθ+3/cosθ)(sinθ^2+cosθ^2)應該是)>=[(2/sinθ)^(1/2)*sinθ+(3/cosθ)^(1/2)*cosθ]^2柯西令K=4/sin^2θ+9/cos^2θ(喔 會更複雜嘛XD)K(sin^2θ+cos^2θ)>=(2sin+3cos)^2這樣還是無法解出2/sinθ+3/cosθ的極值啊囧 鏈接文章 分享到其他網站
2sky 10 發表於 February 6, 2008 檢舉 Share 發表於 February 6, 2008 算幾不等吧K>=4(3/sin2θ)^1/2題目變成求3/sin2θ的最小值y=3/sin2θ y*sin2θ=3 欲求y最小值 sin2θ為最大值1 此時2θ=π/2 (π>2θ>0)K>=4(3^1/2) 鏈接文章 分享到其他網站
黃昏Dacapo 10 發表於 February 6, 2008 檢舉 Share 發表於 February 6, 2008 算幾不等吧K>=4(3/sin2θ)^1/2題目變成求3/sin2θ的最小值y=3/sin2θ y*sin2θ=3 欲求y最小值 sin2θ為最大值1 此時2θ=π/2 (π>2θ>0)K>=4(3^1/2)嗯...還是不太對當2θ=π/2,θ=π/4將θ=π/4代回2/sinθ+3/cosθ會得到5*(2)^2/2依照你的過程K>=4(3/sin2θ)^1/2>=4(3^1/2)但是,第一個等號成立時不代表第二個等號成立而第二個等號成立時也不保證第一個等號成立最多只能推導出:K>=4(3/sin2θ)^1/2>4(3^1/2)或K>4(3/sin2θ)^1/2>=4(3^1/2)看看等號成立條件:第一個等號(算幾不等式)成立條件為2/sinθ=3/cosθ,此時θ=arctan(2/3)第二個等號成立條件為sin2θ=1,θ=π/4事實上,以前我在學柯西時碰到這一題時也煩惱了很久(聽補習班老師說是一中某次期中考的加分題)最後不理它直接微分2/sinθ+3/cosθ=2cscθ+3/secθ微分結果-2cscθcotθ+3secθtanθ令式子為0解出θ代回原式(算出來數字很醜囧)後來我問我朋友,他跟我說要用推廣的柯西不等式來解不過我沒有繼續問下去xd 鏈接文章 分享到其他網站
2sky 10 發表於 February 7, 2008 檢舉 Share 發表於 February 7, 2008 那就柯西吧!!(2/sinθ+3/cosθ)(sinθ^2+cosθ^2)>=[(2/sinθ)^(1/2)*sinθ+(3/cosθ)^(1/2)*cosθ]^2等式成立 則 sinθ/ [(2/sinθ)^1/2]=cosθ/[(3/cosθ)^1/2]解得tanθ=(2/3)^1/3又0<θ<π/2 令a=2^1/3 b=3^1/3 sinθ=a/(a^2+b^2)^1/2 cosθ=b/(a^2+b^2)^1/2 帶回原式得2(a^2+b^2)^1/2 /a +3(a^2+b^2)^1/2 /b 鏈接文章 分享到其他網站
×× 空 ×× 10 發表於 February 9, 2008 檢舉 Share 發表於 February 9, 2008 用算幾最大值出現在1/sinθ=1/cosθ或2/sinθ=1/cosθ或1/sinθ=3/cosθ或2/sinθ=3/cosθ1/sinθ=1/cosθ => (50)^1/22/sinθ=1/cosθ => (80)^1/21/sinθ=3/cosθ => (90)^1/22/sinθ=3/cosθ => (52)^1/2 所以最小值是(50)^1/2? 鏈接文章 分享到其他網站
×× 空 ×× 10 發表於 February 10, 2008 檢舉 Share 發表於 February 10, 2008 算幾不等吧K>=4(3/sin2θ)^1/2題目變成求3/sin2θ的最小值y=3/sin2θ y*sin2θ=3 欲求y最小值 sin2θ為最大值1 此時2θ=π/2 (π>2θ>0)K>=4(3^1/2)原式是(2/sinθ+3/cosθ)= K >= 4(3/sin2θ)^1/2sin2θ=1 時 2/sinθ ≠ 3/cosθ 所以等號不會成立只能說K一定比4(3)^1/2大........? 鏈接文章 分享到其他網站
我是福氣 10 發表於 February 11, 2008 檢舉 Share 發表於 February 11, 2008 解法1 → 柯西不等式推廣(點選看講解)解法2 → 微分(點選看講解)解法僅供參考,解不好勿怪:$ 鏈接文章 分享到其他網站
weiye 10 發表於 February 14, 2008 檢舉 Share 發表於 February 14, 2008 解法1 → 柯西不等式推廣解法2 → 微分解法僅供參考,解不好勿怪:$PS:解法1未指出等號成立的條件,會的請提供,能提供證明更好,哈~ 謝謝:)第一個方法裡面用到的廣義科西不等式的證明與等號成立條件,http://myweb.hinet.net/home10/weiye/temp/qq59.pdf 鏈接文章 分享到其他網站
keith_291 10 發表於 February 17, 2008 檢舉 Share 發表於 February 17, 2008 這題用Holder不等式(廣義柯西)可作 底線那字母是o上面有2點 打不出來..((a1)^p+(a2)^p+....+(an)^p)^1/p((b1)^q+(b2)^q+....+(bn)^q)^1/q大於或等於(a1b1+a2b2+....anbn)其中1/p+1/q=1或者用未推廣的柯西用2次或者原式平方後全換成tanθ 和cotθ再用算幾或者用微分去求本題答案是(2^2/3+3^2/3)^3/2p.s.以上是看過的資料上的作法 自己目前還沒想到算法= ="補充:事實上形如a/sinθ^n+b/cosθ^n都可用Holder's inequality處理其最小值為: (a^2/(n+2)+b^2/(n+2))^(n+2)/2 鏈接文章 分享到其他網站
germany 10 發表於 February 28, 2008 檢舉 Share 發表於 February 28, 2008 用算幾不等式(2/sinθ+3/cosθ)/2 ≧√2*3/sinθcosθ2/sinθ+3/cosθ≧2√2*2*3/ 2sinθcosθ2/sinθ+3/cosθ≧2√12/ sin2θ因為0<θ<π/2 所以0<θ<π因此, 當sin2θ=1 也就是θ=π/4時2/sinθ+3/cosθ有最小值即2/sinθ+3/cosθ≧2√12/ 1所以最小值為2√12= 4√3那答案是這樣嗎? 鏈接文章 分享到其他網站
keith_291 10 發表於 February 28, 2008 檢舉 Share 發表於 February 28, 2008 用算幾不等式(2/sinθ+3/cosθ)/2 ≧√2*3/sinθcosθ2/sinθ+3/cosθ≧2√2*2*3/ 2sinθcosθ2/sinθ+3/cosθ≧2√12/ sin2θ因為0<θ<π/2 所以0<θ<π因此, 當sin2θ=1 也就是θ=π/4時2/sinθ+3/cosθ有最小值即2/sinθ+3/cosθ≧2√12/ 1所以最小值為2√12= 4√3那答案是這樣嗎?不等式的等號成立條件要注意!比如算幾不等式(a+b)/2≧(ab)^(1/2) 等號在a=b時成立你取θ=π/4時2/sinθ並不等於3/cosθ 等號不成立所以不能取4√3為最小值 鏈接文章 分享到其他網站
germany 10 發表於 February 29, 2008 檢舉 Share 發表於 February 29, 2008 不等式的等號成立條件要注意!比如算幾不等式(a+b)/2≧(ab)^(1/2) 等號在a=b時成立你取θ=π/4時2/sinθ並不等於3/cosθ 等號不成立所以不能取4√3為最小值對耶!我都忘了... ...那我再想想謝謝你:E建中人真的很厲害耶!! 鏈接文章 分享到其他網站
chpohoa1 10 發表於 March 7, 2008 檢舉 Share 發表於 March 7, 2008 令K=3/cosθ + 2/sinθ ,a,b為待定常數=> K * √(a^2 + b^2) ≧ K * (acosθ + bsinθ) ≧ [ √(3a) +√(2b) ]^2=> K ≧ [ √(3a) +√(2b) ]^2 / √(a^2 + b^2)=>要讓等號成立√(a^2 + b^2) ≧ acosθ + bsinθ 的條件中sin(φ+θ)=1 註:[sinφ = a/√(a^2 + b^2)]即φ+θ = π/2因此cosθ = sinφ = a/√(a^2 + b^2)且3b(sinθ^2)=2a(cosθ^2) [科西成立條件]整理得3(b^3)=2(a^3),不妨取a=3^(1/3),b=2^(1/3)代回得K ≧ (2^2/3+3^2/3)^3/2如果要寫的屌一點直接配出a,b,不寫出配方過程 鏈接文章 分享到其他網站
chpohoa1 10 發表於 March 7, 2008 檢舉 Share 發表於 March 7, 2008 那就柯西吧!!(2/sinθ+3/cosθ)(sinθ^2+cosθ^2)>=[(2/sinθ)^(1/2)*sinθ+(3/cosθ)^(1/2)*cosθ]^2等式成立 則 sinθ/ [(2/sinθ)^1/2]=cosθ/[(3/cosθ)^1/2]解得tanθ=(2/3)^1/3又0<θ<π/2 令a=2^1/3 b=3^1/3 sinθ=a/(a^2+b^2)^1/2 cosθ=b/(a^2+b^2)^1/2 帶回原式得2(a^2+b^2)^1/2 /a +3(a^2+b^2)^1/2 /b以上論證在邏輯上有重大瑕疵不等式兩邊都是變數時,等號成立的條件完全不能代表什麼得到正確答案也僅是答案恰好符合此關係式否則依照以上邏輯我可以把(2/sinθ+3/cosθ)(sinθ^2+cosθ^2)換成(2/sinθ+3/cosθ)(cosθ^2+sinθ^2)等式右方依然是一堆變數,但檢視等號成立條件卻會得到完全不同的答案話說 以前建中的某數學老師范x榮也曾用過這種錯誤的方法算這題= =如果要說 必須是同一種變數要配在一起的話會得到若 H(x,y) = f(x)+g(y) = L 求J(x,y) = a(x)+b(y)的極值 a,b,f,g>0則極值會發生在 f(x)/a(x) = g(y)/b(y)此種顯然不可能正確的結論(不過如果a,b,f,g都是多項式函數似乎是正確的...) 鏈接文章 分享到其他網站
keith_291 10 發表於 March 9, 2008 檢舉 Share 發表於 March 9, 2008 話說 以前建中的某數學老師范x榮也曾用過這種錯誤的方法算這題= =范老的八卦佚事 Get!!xd 鏈接文章 分享到其他網站
whitey320 10 發表於 March 11, 2008 檢舉 Share 發表於 March 11, 2008 微分可以解媽qq他有限制範圍說 如果微分...可得-2cosx/(sinx)^2 + 3sinx/(cosx)^2 如其等於零.......2(cosx)^3=3(sinx)^3.....tanx=(2/3)^(1/3) 取x約為41.13度...0.7178弳囧....我看起來就做錯了:s其2階導數是...[2(sinx)^3+4sinx(cosx)^2]/(sinx)^4 + [3(cosx)^3+6cosx(sinx)^2]/(cosx)^4x=41.13度帶入 11.0146+10.059>0 此值乃相對極小值...帶入一階導數.....7.023?是類似這個值媽qq如哪裡算錯請指正 感恩= =' 鏈接文章 分享到其他網站
bismarck 10 發表於 March 16, 2008 檢舉 Share 發表於 March 16, 2008 用廣義柯西就能解了{(2/sinθ)^1/3 , (3/cosθ)^1/3}{(2/sinθ)^1/3 , (3/cosθ)^1/3}{(sinθ)^2/3 , (cosθ)^2/3}應該會很漂亮... 鏈接文章 分享到其他網站
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