【分享】高阶物理资料文章之二 量子引力对话录（全篇）

[evaeva 10]

超弦理论避免了试图将引力量子化时产生的紫外发散， 同时它也比传统量子场论更具预言能力， 比如它曾对粒子相互作用中超对称概念的提出有所助益。 在粒子相互作用的超对称统一理论所获得的成功中有迹象表明， 超对称在接近当前加速器的能量上就可能对基本粒子产生影响。 若果真如此， 则超对称将被实验证实， 并有可能具有宇宙学上的重要性， 与暗物质、 元素合成及宇宙暴涨相关。 磁单极在超弦理论的结构中起着重要作用， 因此如果超弦理论成立， 它们就必须存在， 虽然其密度也许已被宇宙暴涨稀释到无法观测的程度。 磁单极的质量在许多令人感兴趣的模型中都接近 Planck 质量， 但假如粒子相互作用与引力的统一 - 如最近某些模型所提出的 - 通过大的或弯曲的额外维度 (large or warped extra dimensions) 在接近 TeV 的能量上实现， 那么磁单极的质量就会小于 100 TeV。 在天体物理背景下这样的磁单极将是极端相对论性的。 在这类模型中， 超对称将毫无疑问出现在 TeV 能区。

在弦论的最基本层次上， 基本粒子被视为振动的弦而非点粒子。 一段弦可以有许多谐振模式， 不同的基本粒子就被诠释为这些不同的谐振模式。

[图一] (a) 粒子一分为二的时空图 (b) 弦论中的对应时空图

在普通量子场论的 Feynman 图中， 粒子在相互作用顶点处分裂或复合 [图一(a)]。 这些是发生在确定时空点上的过程， 所有 Lorentz 观测者对这些过程都有一致的看法。 相反， 在弦的分裂或复合 [图一(b)] 中并不存在一个相互作用发生的确定时刻。 如果我们将相互作用的历史作为一个整体看待， 可以很明显地看到弦的一分为二， 但是任何一个历史小片段看起来都是一样的。 这暗示着弦论中一个最重要的事实： 一旦弦确定了， 它的相互作用也就确定了； 相互作用不必象在量子场论中那样额外引进。

将一个相对论性弦理论量子化被证明是十分微妙的。 二十世纪七十年代当人们试图对弦论量子化时， 一些异乎寻常的东西出现了。 其中最戏剧性的或许是闭弦的基态被证明是自旋为 2 的无质量场， 即引力子。 它们的相互作用与长波下的广义相对论一致， 因此弦论被认为是量子化的广义相对论。 这正是我们所期望的 - 因为量子力学与引力都是自然界的存在 - 而且是我们用别的方法无法得到的， 因为量子广义相对论的传统方法受到紫外发散的困扰。

用弦取代粒子可以消除量子广义相对论中的紫外发散。 粗略地讲这是由于用弦取代粒子起到了将 Feynman 图中的相互作用顶点涂抹开的作用， 就如 [图一] 所显示的那样。

弦论还可以象导出引力那样导出规范对称性。 比如开弦的基态恰好就是规范场。

超对称

除规范理论和引力外， 弦论还可以导出超对称， 这是一种玻色子与费米子之间的对称性。 事实上， 二十世纪七十年代出现于弦论 Raymond 模型中的世界面超对称 (worldsheet supersymmetry) 是超对称概念历史发源的一部分。 自然界并不具有严格的超对称， 但它可能具有内在的、 自发破缺的超对称， 就象粒子物理标准模型中的 SU(2)×U(1) 规范对称性那样。 事实上， 有迹象表明超对称在当前或拟议中的加速器实验所及的能区中就可能被检测到。

迹象之一是 “等级问题” (hierarchy problem)， 它是 Dirac “大数问题” 的现代版。 Dirac 的问题是： 为什么两个质子间的引力比电力弱 10-38 倍？ 在物理定律中出现如此微小的无量纲常数似乎是需要解释的。 这一问题的现代版则是： 为什么 W 与 Z 粒子 (这些规范粒子的质量与其它粒子的质量标度密切相关) 的质量比 Planck 质量小 10-17 倍？ 超对称为这一问题提供了一种可能的答案， 因为它消除了影响 Higgs 质量的平方发散。

超对称的一个更加定量的迹象来自于强、 弱及电磁相互作用耦合常数的测量值。 它们与基本相互作用的大统一理论及超对称所导出的关系式在 1% 的精度内相符。

如果超对称 - 比如通过费米实验室或正在欧洲核子中心建造的新加速器 LHC - 被发现， 人们将从中得到许多有关超对称粒子质量及相互作用的信息。 现在描述超对称世界细节的理论模型比比皆是， 其中即使有一个的方向是正确的， 我们也无从知晓。

发现超对称无疑会给弦论带来极大的促进， 它将表明由弦论以大致相同的方式导出的三种基本结构 - 引力、 规范理论及超对称 - 都是对自然描述的组成部分。 现在还很难说弦论从发现和探索超对称中可能得到的促进会有多大， 因为我们不知道超对称质量谱会是什么样的， 以及从中能得到有关更高能物理学的什么样的线索。

超对称的发现还可能通过多种方式对宇宙学产生影响：

某些超对称粒子将是暗物质的可能候选者， 计算表明它们有可能恰好具有与观测相符的质量和丰度。 (不过， 超对称粒子并不是暗物质的唯一候选者， 而且有些超对称模型不具有这种候选者。)

如果超对称存在， 那它必须被纳入计算宇宙早期元素合成的理论中去。 事实上， 超对称理论所包含的带重子数的标量粒子很可能会起重要作用 [1]。

超对称标量粒子也许与暴涨有关 (这在 L. Randall 的报告中已经讨论过了)， 尽管超对称及弦论尚未对此给出清晰的图景。

1984 年， 随着 Green-Schwarz 反常消除及 Gross、 Harvey、 Martinec 和 Rohm 的杂交弦 (heterotic string) 理论使得构筑优美及半现实的粒子物理与量子引力模型成为可能， 弦论变得越来越让人感兴趣。 这里 “半现实” 指的是可以干净利落地得到正确的粒子与规范相互作用， 但却无法对粒子质量给出合理描述， 因为后者依赖于超对称破缺， 而我们对此还没有合适的模型。

一个好的超对称破缺模型应该会为解决宇宙学常数极小 (或为零？) 的问题带来曙光， 因为在我们的半现实模型中， 超对称未破缺时宇宙学常数为零。 因此宇宙学常数极小不仅本身是一个很大的谜 - 不为零的观测值使之更为尖锐 - 而且缺乏对它的理解还会妨碍我们改进粒子物理模型。

我们现在所知的超对称破缺模型会导致 quintessence 类型的行为 (它们具有变化的标量场， 没有稳定的真空态)， 但其参数和耦合却高度非现实。 总体上讲， 带标量场的 quintessence 看来是有问题的， 因为它们的相干耦合按说应该已经在对等效原理的检验中被检测到了。 有鉴于此， 带赝标量场 [即具有 V(a)=Λ4(1-cos(a/F)) 型相互作用势的轴子型 (axion-like) 场， 其中 Λ 和 F 为常数] 的 quintessence 也许更具吸引力， 因为这类模型没有相干耦合 (或者 - 考虑到宇称并不严格守 - 相干耦合被高度抑制)。 目前还只有少数文章讨论以赝标量场为基础的 quintessence 型模型 [2][3]。

五种超弦理论

1984 年， 人们依据弦的普遍性质的差异区分出了五种不同的超弦理论：

IIA 与 IIB 型理论中的弦是闭合、 有向， 并且是绝缘的。

I 型理论中的弦是绝缘的， 可以是开弦也可以是闭弦； 开 I 型弦的端点带有电荷。 (这类理论与强相互作用理论有一定的类比性， 其中开弦和闭弦分别对应于介子和胶球； 这种类比性在弦论的发现中起过作用， 并且仍在启发着新的研究方向。)

最后， 杂交 SO(32) 和 E8×E8 弦是闭合、 有向， 并且是超导电性的。

五种超弦理论， 每一种都包含引力， 显然多了四种。 但这比弦论之前的物理学还是强多了， 那时我们有无穷多种可能的量子场论， 其中却没有一种包含引力。

超弦理论与以前的物理学还有一个本质的差别。 在量子场论中通常有一些无量纲的可调参数， 比如精细结构常数 e2/4πhc ~ 1/137， 或者电子与 μ 子的质量比 me/mμ ~ 1/200。 这些可调参数大都出现在如 [图一] 所示的相互作用顶点中， 它们在过渡到超弦理论时会消失。 在超弦理论中不存在无量纲的可调参数， 取而代之的是标量场 φi， 它们的期待值确定了 e2/4πhc、 me/mμ 等。

这表明原则上 e2/4πhc、 me/mμ， 以及其它参数也许可以从作为 φi 函数的能量的极小值中计算出。 不过在实际上， 为了做到这一点我们必须理解超对称破缺及宇宙学常数， 因为如果超对称不破缺， V(φ) 将痤奶_零。 这是发现超对称从而有机会对超对称破缺进行实验研究有益于超弦理论的又一个原因。

强耦合

要想回答超弦理论中的任何重大问题， 都会遇到一个困难， 那就是我们其实并不真正理解超弦理论到底是什么？ 与其它理论 - 比如广义相对论 - 不同的是， 广义相对论是先有整体构思， 而超弦理论在二十世纪七十年代早期的出现通过的却是一系列修修补补的过程， 没有人知道整体图象。 一开始， 人们只能看到云层之上一片小小的山巅。 三十年后的今天， 我们已经拨开云雾见到了一些底层的结构， 但许多东西依然朦朦胧胧。

二十世纪九十年代的一个重大进展是发现如何将诸如 e2/4πhc=eφ 那样的参数外推到大数值上， 前提是超对称破缺可以忽略。 我们以前可以计算 e2/4πhc << 1 的情形， 现在可以对 e2/4πhc >> 1 的情形也有所了解了。

进行这种计算的基本技巧是研究磁单极及其它非微扰激发态。 当 e2/4πhc 很小时， 磁单极远比其它粒子重， 这使得它们不如其它粒子重要。 但是当 e2/4πhc 很大时， 磁单极就会变得很轻， 我们有可能用磁单极来描述理论。

我将以过度简化为代价来对此作一个定性地解释。 按照 Dirac， 磁单极所带的磁荷为 g=2πhc/e。 这表明当 e 很小时 g 远比 e 大， 而当 e 很大时 g 远比 e 小。 假如我们认为电子和磁单极的质量是电磁起源的话， 就可以预期在 e→∞ 时磁单极是轻粒子。

因此在 e2/4πhc→∞ 时我们需要一种以磁单极而非电子为基础的描述， 这种描述不是别的， 恰好就是另一种超弦理论， 或是原先理论的变种。 沿着这种思路人们最终明白了超弦理论其实只有一种， 以前以为不同的五种超弦理论只是一个更加完备的理论的不同极限， 这一理论有时被称为 M 理论。 M 理论是超统一的候选者， 尽管我们对它的了解还很少。

磁单极

磁单极在上述图景的发展中起着重要的作用， 因此假如超弦理论是正确的， 它们就应该存在。 但它们到底在哪里呢？ 宇宙暴涨也许已经使磁单极的密度小到了难以观测的程度。 但这在二十多年前磁单极刚刚被提出时就是一种可能性， 如果到今天居然还只是一种可能性， 不免令人汗颜， 因此让我们期望有一定数量的磁单极幸存了下来。

磁单极的质量有多大呢？ 以大统一类型的理论为基础的标准描述给出的质量在大统一能标以上， 比如 1017-1020 GeV (上限为带磁荷的 Reissner-Nordstrom 黑洞的质量， 最轻的磁单极不太可能比这更重)。

这么重的磁单极将不受有关磁单极通量的 Parker 上限 (Parker bound) 的影响， 因为这种磁单极所受的星系引力场作用远大于磁场作用。 据我所知， 若不是 MACRO 及其它实验排除了这种磁单极 - 哪怕是其中具有最大可能质量的那种 - 成为星系晕 (galactic halo) 主导成分的可能性， 它们是有可能成为暗物质候选者的。

除了大统一类型的理论外， 我们还应该考虑一些通过大的或弯曲的额外维度， 在低能下统一引力的模型 [5][6]。 假如这样的统一发生在 TeV 能量上， 那么磁单极的预期质量也许会在 10-100 TeV 左右。 这么轻的磁单极会被星系磁场加速到极端相对论性， 因此对它们的实验检测将完全不同于大统一标度上的磁单极 (最近的评估可参阅 [7])。 而且这种磁单极有可能没有被宇宙暴涨所稀释。 不过我们很难对最后这点做细致的描述， 因为目前有关低能统一的想法还只是构想而非具体模型。

有关超弦理论中的磁单极的另一个有趣的特点是在许多模型中 [8]， 最小磁荷并不是 Dirac 量子 2πhc/e， 而要比它大 n 倍， 其中 n 是与模型有关的整数。 相对应的， 这些模型中存在电荷为 e/n 的非禁闭有质量粒子。 这些粒子的质量在大统一类型的理论中处在大统一能标上， 而在低能统一模型中则在 TeV 能标上。 宇宙线中电荷大于等于 e/5 并且 β>1/4 的粒子通量已经受到 MACRO 的明显限制 [9]。

具有讽刺意味的是， 尽管人们有时认为在 TeV 能量上统一引力使得该能量上的超对称不再有必要， 但假如超弦理论是正确的话， 它们反而会使 TeV 能量上的超对称变得不可避免。 为了说明这一点， 让我们来做一个简单的理想实验 (其实在前面考虑磁单极时就可以做)。 假如加速器实验果真发现了 TeV 能量上与量子引力的统一以及高维有效 Planck 标度为 TeV 量级， 那么， 如果量子引力要求在 Planck 能标上具有超对称 (超弦理论看来正是如此)， 则我们就应该预期在 TeV 甚至更低的能量上发现超对称！

最近 Giddings 和 DeWolfe 的一篇文章对上面最后一点做了精彩的论述 [10] (也可以参阅 [11] 中的相关讨论)。 他们考虑了一种带有弯曲额外维度的情形， 对大多数状态来说理论的十维 Planck 质量处在或高于普通的大统一能标， 而且超对称在该能量上破缺。 但是由于度规的弯曲， 部分粒子态可以向下延伸到 TeV 或更低的能量。 在这一模型中， TeV 能标上的粒子包括一些引力子的激发态， 通过在 TeV 上包括这一低能粒子区 (该区域应该包含了我们熟悉的普通粒子) 的实验， 人们可以观测到基本粒子与引力的统一。 毫无疑问， 正如我们的简单分析所预示的， Giddings 和 DeWolfe 发现尽管大统一标度上的粒子具有大统一标度上的超对称质量分裂， TeV 能量上的粒子却具有 TeV 能量上的超对称质量分裂。 因此， 能够发现基本粒子与引力统一的实验也将能够发现超对称。

因此简而言之， 低能磁单极与低能超对称破缺应该是低能引力统一模型的普遍结果。

除此之外还有哪些地方可以看到超弦理论的效应？ 如果我们可以通过 (由标量场真空期待值的变化所导致的) 自然常数的变化， 或等效原理的偏离， 或 Newton 引力定律在小尺度上的偏离， 检测到超弦理论中为数众多的标量场， 那将是不错的结果。 不过就自然常数的变化而言， 我个人对此比较悲观， 因为我觉得足以导致可检测的自然常数变化的标量场变化应当已经在对等效原理的检验中被发现了。 但我还是抱着一线希望。

在其它种种想象得到的可能性中， 我只提其中一种， 那就是 “弦论” 这一名称本身就暗示着如果理论是正确的， 弦有可能存在于天空中 (当然， 宇宙弦 - 尤其是重的宇宙弦 - 也可能已被宇宙暴涨极大地稀释了)。 人们可以想象弦在天空中的伸展， 还有其它带有大统一尺度张力的客体， 它们也许会出现在宇宙微波背景图象中。 不仅如此， 其它较轻的， 也许一直向下延伸到 TeV 能标上 (对应的张力约为 10-4 gm/cm) 的客体也同样有可能被观测到。 这些较轻的客体也许可以从， 比方说， 某种我们还不知道的规范群的额外 U(1) 因子的破缺中被产生出来。 它们将无法通过引力效应被观测到， 但如果它们在银河系 (或太阳系？[12]) 中大量存在的话， 也许可以通过其它方法检测到。 在那种情形下， 如果它们是超导电性的 (这对于从额外 U(1) 破缺中产生出的弦来说并不罕见 [13])， 也许可以通过它们对磁场的扰动以及它们与磁场相互作用时产生出的反物质云而被检测到。

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[evaeva 10]

圈量子引力與超弦理論之爭方興未艾， 要想對這兩個理論進行不偏不倚的評論是非常困難的。 與其追求這樣一種評論， 在這堣ㄕp讓我來敘述一段與這一話題有關的對話， 那是我在美國某名校的自助餐廳媗巨茠滿C 對話是在高能物理學家 Simp 教授和研究生 Sal 之間進行的。 Simp 教授聽說 Sal 試圖研究圈量子引力， 就找她聊了聊， 想勸她放棄。 下面就是我所聽到的他們的對話。

Sal: Hi， 教授。

Simp: Hi， Sal， 聽說你對圈圈很感興趣。

Sal: 是啊， 正在學呢。

Simp: 並且？

Sal: 並且很喜歡。

Simp: 打算做這方面的研究嗎？

Sal: 也許吧。

Simp: 研究圈圈恐怕會找不到工作哦。

Sal: 也許吧， 但是我想做點能讓自己著迷的東西， 工作之類的事以後再考慮吧。

Simp: 嗯， 圈圈堶惘酗麽東西讓你這麽著迷呢？

Sal: 融合廣義相對論和量子理論， 理解時間和空間的性質。

Simp: 超弦理論也可以融合廣義相對論和量子理論啊。

Sal: 是的， 可是代價太高了一點。

Simp: 代價太高？

Sal: 是啊， 額外的維度、 超對稱、 無窮無盡的場 ...

Simp: 這些不是代價， 而是令人著迷的新物理啊。

Sal: 現在恐怕還只是猜測， 算不上是新物理吧。

Simp: 圈量子引力不也只是猜測嗎？

Sal: 當然， 但是圈量子引力的猜測中只用到了我們熟知的廣義相對論和量子理論， 沒有用到那些額外的東西。

Simp: 真的只是這些嗎？ 圈圈已經萬事具備了嗎？

Sal: 那倒不是， 還差很多。 但是超弦理論差得也不少啊。

Simp: 沒那麽多。 在超弦理論中你可以計算散射振幅和截面， 圈量子引力做不到吧？

Sal: 不錯， 但是也有許多東西圈量子引力可以計算， 超弦理論卻做不到啊。

Simp: 比方說？

Sal: 比方說面積和體積算符的譜。

Simp: 但是你無法測量這些東西。

Sal: 原則上是可以測量的 ...

Simp: 原則上也許可以， 但實際上卻無法 ...

Sal: 在實際上你也無法測量超弦理論預言的散射截面啊 ... 但是這兩者之間有一個很大的差別。

Simp: 什麽差別？

Sal: 圈量子引力的預言是唯一的， 是完全確定的 - 也許差一個參數， 但僅此而已。 如果有一天我們對面積測量的精度可以達到 Planck 標度， 我們就會知道圈量子引力預言的數值是否正確， 從而也就會知道理論究竟是正確還是錯誤的， 這才是真正的科學， 不是嗎？

Simp: 超弦理論也有不少預言啊。

Sal: 比方說？

Simp: 比方說大的額外維度 (large extra dimension)、 超對稱、 標準模型中不可能出現的反應。

Sal: 你是說如果我們找不到大額外維度的實驗證據， 我們就可以說超弦理論是錯誤的？

Simp: 當然不能， 大額外維度只出現在特殊的超弦理論模型中。

Sal: 因此對額外維度的實驗不可能推翻超弦理論。

Simp: 不錯。

Sal: 假如在預期的能區內找不到超對稱， 我們可以抛棄超弦理論嗎？

Simp: 也不能， 因爲超對稱也許存在於更高的能區堙C

Sal: 那麽， 究竟什麽實驗可以在原則上推翻超弦理論呢？

Simp: 我想不出有任何實驗可以做到這點， 超弦理論是非常堅實的。

Sal: 在我看來這不是堅實而是非常的薄弱。 一個好的科學理論應該是一個可以被證僞的理論。

Simp: 我不是哲學家 ...

Sal: 我的意思是說， 一個好的科學理論應該是一個可以給出確切預言的理論， 而不是一個可以擬合任何實驗結果、 永遠也無法告訴我們下一個實驗會有什麽結果的理論。 一個能夠容納任何結果及其相反結果的理論能有什麽用處呢？

Simp: 你有點誇張其詞了吧 ...

Sal: 有一點吧 ... 但是最低限度， 目前存在任何一種與我們的觀測世界相一致的超弦理論嗎？

Simp: 當然啦！ Yang-Mills 場， 誇克， 引力子！ 你這叫什麽問題？

Sal: 我是說存在一種超弦理論及其真空 - 一種 Calabi-Yau 流形 - 或其它機制， 可以使理論破缺到四維時空， 並精確地給出標準模型， 給出我們觀測到的基本粒子， 給出它們的質量和代 (family) 嗎？

Simp: 我想有一些 Calabi-Yau 流形可以給出與標準模型相當接近的物理結果。

Sal: 就算有吧， 但是有理論可以精確地給出實驗可達能區中的標準模型嗎？

Simp: 嗯 ... 我想是沒有 ... 起碼沒有精確的 ...

Sal: 因此到目前爲止超弦理論與我們的觀測世界並不相符 ... 它引進了一連串我們從未觀測到的、 非常複雜的東西， 比如超對稱和額外維度 ... 並且給不出任何確定的、 無歧義的實驗預言。 這象是一個嚴肅的理論嗎？

Simp: 那只不過是因爲我們還沒有能力真正地進行計算。

Sal: 當然， 但是這種說法太廉價了一點， 對任何足夠複雜的理論都可以套用這樣的說法 ... 我們爲什麽要單單相信超弦理論呢？

Simp: 因爲它是唯一一個可以將廣義相對論與量子理論合而爲一的理論。 因爲它給出了一個不發散的量子理論， 包括引力。 因爲它包含了標準模型所欠缺的東西。 因爲它可以導出實驗上已經確認的許多東西， 比如引力、 規範理論、 費米子等。 因爲它只有一個參數而標準模型有十九個。 因爲它將所有的東西統一在了一起， 是一個包羅萬象的理論。 因爲它是一個非常優美的理論。

Sal: 教授， 我們可以在午飯時繼續討論所有這些嗎？

Simp: 當然， 不過在這之後我們也要來討論一下圈量子引力。

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中篇推出罗

前面的讨论是在 Sal 和 Simp 教授排队等候午饭时进行的。 现在他们买完午饭坐了下来。 Sal 在一张餐巾纸上记下了几个词语。 几位对讨论感兴趣的学生围坐在一旁倾听。

Sal: 我记下了您关于超弦理论的观点。 我首先要说超弦理论无疑是一个极为出色的理论， 充满了新奇和惊讶， 它接触到了那么多数学， 并且显然和许多已知的物理有着不错的关联。 我对发展超弦理论的那些物理学家充满了敬意， 他们也是我心目中的英雄。 我想要讨论的是目前我们究竟有多大把握相信超弦理论是描述自然的正确理论。 如果我们有足够的理由相信超弦理论的话， 那就没有太大必要研究其它理论了。 因此， 让我来分析一下您所列举的相信超弦理论的理由吧。 先从第一条开始： 它是唯一一个可以将广义相对论与量子理论合而为一的理论。

Simp: 我先收回这一条。 我忘了你在学圈圈。 当然圈量子引力也符合这条， 我们稍后再作讨论。

Sal: 那好。 您说超弦理论只有一个参数而标准模型有十九个。 一般来说我们对具有较少参数的理论更有兴趣 - 如果这一理论可以推导或计算出旧理论中的自由参数的话。 超弦理论可以做到这一点吗？

Simp: 现在还不能。

Sal: 因此， 对于标准模型的十九个参数而言， 超弦理论不过是用一个新的问题取代了旧的问题。

Simp: 是的， 但这个新的问题是有希望解决的。

Sal: 我并不怀疑假如超弦理论的所有希望都得以实现的话， 超弦理论将会是一个完美的理论， 我们就不必研究圈圈了。 但另一方面， 假如圈量子引力的所有希望都得以实现的话， 圈量子引力也将会是一个完美的理论， 我们也就不必研究超弦了。 因此让我们都把希望抛在一边， 来讨论一下具体的结果吧。

[译者注： 这里 Sal 大大高估了圈量子引力。 就各自的理想目标而言， 超弦理论要远远高于圈量子理论 - 在后者的目标中根本不包括诸如解决标准模型参数问题之类的问题。 因此即使在理想情况下， 圈量子引力也是具有明显局限性的， 不可能取代超弦理论。 钟情于圈量子理论的 Sal 说出这样的话倒不奇怪， 奇怪的是 Simp 教授居然没有加以反驳， 真是严重失察]

Simp: 只论具体结果的话， 那标准模型中的十九个参数目前还无法理解。

Sal: 好。 标准模型除了参数外， 还有一些其它问题， 比如为什么基本粒子有三代？ 超弦理论可以解决这个问题吗？

Simp: ... 不能 ...

Sal: 宇宙学常数为什么这么小？

Simp: ... 不能 ...

Sal: 更好地理解对称性破缺？

Simp: ... 也不能 ...

Sal: 因此？

Simp: 但是超弦理论可以将标准模型的全部复杂性包含在一个极其简单的框架内 ...

Sal: 且慢。 我同意玻色弦理论是一个简单的物理框架。 但是玻色弦理论是一个糟糕的理论， 因为它带有快子 (tachyon)， 而且显然不可能给出标准模型。 因此你必须扩大理论， 比方说扩大为 heterotic string， 引进规范群、 超场 ... 对理论的玻色及费米部分引进不同的行为 ... 我不会把这叫做 “一个极其简单的框架”。 不仅如此， 迄今为止为了得到标准模型， 你还必须人为地选择一个特殊而且复杂的内禀空间 (internal space)。 而且通常来说， 你必须读到一套专著的第二卷才能勉强开始明白那些稍有现实希望的模型的定义 ... 即便如此， 我们还是无法推导出标准模型的所有细节 ...

Simp: 听起来你好象把超弦理论当成了一个纯属纸上谈兵、 毫无现实动机的极端复杂的玩艺儿。 事实上那些有趣的东西， 比如额外维度、 超对称等都有着严谨的推理背景， 可不是为了好玩才引进的。 这些看似复杂的东西解决了具体的理论问题并最终组合成了一个终极理论， 这是令人瞩目的。

Sal: 它们解决了什么理论问题？

Simp: ... 起初是对偶模型及 Veneziano 振幅 ...

Sal: ... Veneziano 给出的振幅实现了猜测中的强相互作用下 s-channel 与 t-channel 间的对偶性 ...

Simp: 你对历史很了解啊。

Sal: Veneziano 振幅给出了观测到的散射截面吗？

Simp: 没有。 强相互作用散射截面的高能行为不同于 Veneziano 公式所给出的。

Sal: 因此一个好的物理学家应该得出结论说 Veneziano 公式是一个不错的理论构想， 但不是自然界所喜欢的那种， 我们应该抛弃它， 然后去研究别的东西 ... 我想当一个漂亮的公式与自然界不相吻合的时候， 我们必须相信自然界而不是漂亮的公式 ...

Simp: 事实上 Veneziano 公式作为一个强相互作用理论的确是被抛弃了， 但我们从中得到了那么多的东西。 人们意识到 Veneziano 公式可以从弦理论中得到， 并且可以有更好的应用。

Sal: 慢着， 这个故事只是给出了一个观念产生的历史沿革。 它并不能提供足够的理由让我们相信这个观念。 如果这个故事有任何启示的话， 它只是说明这是一个错误的出发点。 强相互作用下的 Veneziano 振幅及 Dolen-Horn-Schmid 对偶性是受高自旋共振态中质量与自旋的近似线性关系的启发而提出的 ... 如果我没理解错的话， 所有这些现在都可以用 QCD 来理解， 甚至包括那些表观上的 “弦” 行为。 色力线 (color lines) 构成的通量管 (tubes of flux) 在某种近似下就象是细小的弦。 因此我们可以期待某种类型的弦理论可以近似地描述这种现象。 因此正确的物理结论是弦理论是一定能区下的近似理论， 而不是一个基础物理理论。

Simp: 这的确是当时的结论。 但是， 人们后来发现 Veneziano 公式开启了一个广阔而美丽的理论世界， 从中产生了大量的东西。 弦是一些其它规范理论， 比如 N=4 的 Super-Yang-Mills 理论， 的不错的描述。 大 N 极限下的 QCD 也很可能有一个弦描述。

Sal: 我正在读一本很久以前写的书， 其中有这样一段： “... perchè i nostri discorsi hanno a essere sopra un mondo sensibile, e non sopra un mondo di carta.” 大意是： “... 我们的理论必须是关于经验所及的世界， 而不是虚构的世界的”。 以我们目前所知， 您提到的那些理论没有一个是关于经验所及的世界的。

Simp: 弦理论很自然地包含了引力子， 而引力是经验所及的。 而且弦理论在高能下是有限的。

Sal: 但它只有在 26 维时空中才是自洽的， 这可不是经验所及的。

Simp: 这可以用 Kaluza-Klein 紧致来修正。

Sal: 但它带有快子 (tachyon)， 这也不是经验所及的， 破坏了理论的自洽性。

Simp: 这可以用超对称来修正。

Sal: 如此下去 ... 你不断地得到新的理论， 它们或者是不自洽的， 或者是与经验不符的， 你不断修正， 使理论变得越来越复杂 ...

Simp: ... 直到最终得到一个理论， 它有可能既自洽又与自然相符 ...

Sal: 也许吧， 但是理论的各个组成部分不是为了解决标准模型中的问题， 也不是为了解决现实世界中的问题， 而纯粹是为了解决由理论的其它部分导致的问题。 根据天主教的教义， 在弥撒中会出现两种奇迹： 一种是葡萄酒变成了真正的血液。 另一种则是血液看上去闻起来象是葡萄酒 ... 后者只是为了弥补前一种奇迹带来的不自洽而添加的 ...

Simp: 别把话题扯开了。 重要的是， 你持续拓展理论直至最后得到一个自洽并且与自然相符的理论。

Sal: ... 或者直至得到这样一个理论， 在其中你再也无法计算任何东西， 再也不能约化到四维时空， 再也不能回到标准模型 ... 并且这个理论是如此的复杂和深不可测， 你再也无法证明它是错误的， 你于是可以声称它包含了所有的物理 - 它们的内容将留待未来的物理学家去发现 ... 而假如出现了问题 - 比如发现所有已知的真空都是不稳定的， 就象最近 Gary Horowitz 及其他人所发现的那样 - 你总可以寄希望于一些别的东西来挽救理论， 因为理论已经复杂到了这种地步 ...

Simp: 如果理论研究的自然演化导致了非常复杂的理论， 这不是理论物理学家的过错。

Sal: 假如这是理论物理学家的过错呢？ 我想当您说 “理论研究的自然演化” 时您指的是从 Fermi 理论、 QED、 SU(2)×U(1)、 QCD、 标准模型， 到大统一理论、 新 Kaluza-Klein 理论、 超对称、 超引力、 超弦 ... 这条线吧？

Simp: 是的。

Sal: 如果这条 “理论研究的自然演化” 之路在某个地方误入歧途了呢？ 在我看来情形正是如此。

Simp: 你指的是什么？

Sal: 举几个例子吧， Dirac 预言了正电子， 我们找到了； Feynman 等人发展了量子电动力学， 我们发现它非常精确； Weinberg, Glashow 和 Salam 预言了中性流， 我们找到了； 他们预言了 W 和 Z 粒子， Carlo Rubbia 找到了， 而且恰好在预言到的能量上 ...

Simp: 这又怎样？

Sal: 但是接下去呢？

Simp: 接下去又怎样？

Sal: 接下去 Veneziano 公式预言了非常 “软” 的高能散射振幅， 结果大自然并不赏脸； 大统一理论预言了质子的衰变， 结果没能在所预言的标度上发现； 复活后的 Kaluza-Klein 理论预言了一种标量场， Dicke 找了半天， 结果没找到； 超对称预言了大量的超对称粒子， 结果虽然一再修改预言， 仍然没找到； 最近超弦理论又预言了额外维度

[译者注： 应为 large extra dimension， 普通的额外维度并不是 “最近” 才预言的， 而且也远非当前实验可以检验的]， 结果也没找到 ...

Simp: 也许质子的寿命只比我们预期的稍长一点， 也许超对称粒子只比我们预期的稍重一点 ...

Sal: 当然， 这些都是可能的， 一切都是可能的。 但是以前那一系列惊人准确的成功预言与后来这一系列不成功的预言之间的对比是令人吃惊的。 在以前， 实验粒子物理学家的脸上总是洋溢着微笑， 步履总是如英雄般从容不迫， 仿佛上帝就是一边读着 Phys. Rev. D 一边把理论物理学家的建议变成现实的。 而现在， 理论物理学家们建议的新物理全跑爪洼国去了， 幸好在标准模型中还有些东西可以忙一忙 ...

Simp: 理论的预言总难免会有错误的。

Sal: 是的， 但也终归是有正确预言的， 而这自标准模型之后就一直没有了。

Simp: 那是因为新预言所涉及的能量太高了。

Sal: 根本不是这么回事。 新理论曾做过许多可以检验的预言， 它们完全就是错误的。

Simp: 你打算引申出什么结论？

Sal: 也许大自然在告诉我们， 我们的理论研究之路已经在某个地方误入歧途了 ...

Simp: 这可不是证明。

Sal: 当然， 我们并不知道情况是否真的如此。 但是， 最起码这给了我们一个很强的理由， 让我们去探索被您称为 “理论研究的自然演化” 之路以外的方向。 这也给了我们一个很强的理由， 来用更加警觉的目光审视那种仅仅因为理论研究自然导致超弦理论就认为它一定是正确的的观点。 在相反的证据已经累积起来的时候， 我们为什么还要一起沿着同一条路径走下去呢？

Simp: 也许 ... 但是如果我们发现了超对称呢？

Sal: 那我们就会有一段不同的对话。 但是我已经听到过太多的声明， 声称超对称已经 “即将被发现”。 我曾被告知一些著名的物理学家声称超对称无疑将在一两年内被发现， 否则他们就会改变看法。 这已经是好多年以前的事了， 可他们仍然没有改变看法。 我可以理解改变一个人的看法是困难的， 特别是仅凭实验证据 ... 但是我们究竟应该相信大自然多一些还是自己的想象力多一些？ 我记得有位非常著名的理论物理学家在一次重要演讲中曾对着许许多多的数学家说， 他的实验物理学家朋友刚刚告诉他超对称的第一个实验证据已经出现了 ... 他煞有介事地宣布了这一发现 ... 所有人都被震撼了 ... 在那个演讲中， 他还声称在新的世纪里数学家们将要做的就是研究超弦理论 ...

Simp: Sal， 不许嘲讽 ...

Sal: 好吧， 对不起。 让我转到您的另一个观点吧， 那就是超弦理论将所有的东西统一在了一起， 是一个包罗万象的理论。

Simp: 你无法否认这一点。

Sal: 我不否认这一点。 但我不很确定追寻一个包罗万象的理论是一种正确的思路。

Simp: 这是物理学家们的古老梦想。

Sal: 是的， 但那从来都没有成功过。 这次也可能会失败。

Simp: 这次不同。 我们有了几乎可以解释所有观测现象的理论。

Sal: 这次和以往各次没有任何差别。 物理学家们曾经不止一次地相信自己已经有了可以解释 “几乎所有观测现象” 的理论。 那种认为我们 “几乎” 有了终极理论的感觉在量子力学前夕有过， 在 Maxwell 时代有过， 在 Newton 之后不久也有过 ... 可惜每次都是错误的 ...

Simp: 我不是历史学家。 但这次也许是正确的 ...

Sal: 有什么证据吗？

Simp: 超弦理论 ...

Sal: 一个 - 我们已经一致认为 - 迄今为止并不描述我们生活的世界， 无法给出任何精确而无歧义的预言， 并且 - 我还可以加上一条 - 其基础还完全不清楚的理论？

Simp: 慢着， 超弦理论的情况没你说的那么糟吧。 比方说微扰理论让我们可以计算出深度量子引力能区中的所有有限散射振幅。

Sal: 真的吗？ 量子引力能区是指质心系能量远高于 Planck 能量的能区。

Simp: 是的， 那又怎样？

Sal: 那正是微扰展开式不再收敛的区域 ...

Simp: 你指的是展开级数本身的发散， 而不是级数中各单项的发散。

Sal: 是的。

Simp: 级数本身的发散是所有量子场论的共同特点。

Sal: 是的， 但其它那些量子场论都是近似的。 我们总可以寄希望于新的高能理论， 而现在我们讨论的据称是一个终极理论 ... 难道一个终极理论也不能让我们计算到 Planck 能区吗？

Simp: 好吧， 就算微扰理论不行吧 ... 可我们还有非微扰部分呢 ... 在一些情形下我们有可能给出散射振幅的非微扰定义， 比如在 11 维时空中， 或是在渐近 AdS 时空中的 AdS/CFT 对应下。

Sal: 能给出一点跟我们这个宇宙有关的东西吗？

Simp: 不要嘲讽， Sal， 你不能忽视超弦理论中的这些非微扰部分。

Sal: 你指的是对偶性吧， 那些在强耦合与弱耦合之间的映射， J. Polchinski 的膜之类的东西吧 ...

Simp: 是的， 超弦理论远比我们预期的更为丰富， 它的内涵之丰富简直是神奇的 ...

Sal: 我知道， 我也听过许多充满激情的报告 ...

Simp: 结果呢？

Sal: 什么结果？

Simp: 那些难道都没能让你相信吗？

Sal: 相信什么？

Simp: 相信我们已经开始理解理论的非微扰部分， 令人瞩目的结果已经显现出来了。

Sal: 你是说我们已经理解了理论的非微扰部分， 可以对非微扰能区进行常规计算了？

Simp: 那还差得远。

Sal: 因此， 超弦理论还不能让我们计算出深度量子引力能区中的有限散射振幅 ... 您赞成这样一个说法， 即我们对超弦理论的微扰区域已经有了较好的了解， 在这个区域中它与现实世界并不符合； 而我们对非微扰区域的了解才刚刚起步， 还不清楚它是否与现实世界有关系吗？

Simp: 我想我赞同。

Sal: 您看， 这就是经过了这个星球数以百计最聪明的物理学家这么多年研究的结果 ... 在我看来这与真正能让我激动的结果相比是很欠缺的 ...

Simp: 那只是你的个人品味 ... 别忘了这样一个坚实的结果， 那就是超弦理论给出了量子引力下的有限微扰展开式。

Sal: 不错。 我承认这的确是令人瞩目的。 但即使对这个结果我也有所怀疑。

Simp: 怀疑？

Sal: 有人证明过超弦理论在所有各阶都有限吗？

Simp: 大家都是这么说的。

Sal: 大家都是这么说的， 可有人确切地知道吗？

Simp: 有很多迹象表明这一点。

Sal: 很多迹象是不能等同于确切知道的。 以前也曾有很多迹象表明超引力在所有各阶都是有限的， 一些著名物理学家还欢欣鼓舞地声称终于找到了终极理论。 结果超引力被证明在三圈图或其它某圈图上不是有限的。 [译者注： 超引力在两圈图层次上发散]

Simp: ... 嗯 ...

Sal: 让我把问题简化一下吧： 有任何一篇论文、 一部专著或者一个报告曾经证明超弦理论在所有各阶都有限吗？ 我不要求能让数学家信服的证明， 只要能让一个稍有些批判头脑的场论学家信服就行。 1986 年 Green, Schwarz 和 Witten 在他们的书中提到这种有限性是所有超弦物理学家的共同信念， 但还没有完整的证明。 现在十五年多过去了， 我们找到证明了吗？

Simp: 我不认为现在已经有了这样的证明 ...

Sal: 事实上， 我曾经试图寻找这样的文献。 我发现微扰有限性从未在两圈图以上得到过证明。 事实上， 我们甚至连亏格数 2 (genus 2) 以上是否存在超弦振幅的明确定义都还不知道。 我们不清楚在那种情况下理论本身是否有明确的定义。 当然我不曾问过那些只对可能性充满乐观的人， 除了几个声称很久以前有过只有他们才看得懂的晦涩证明， 却又想不起究竟是什么论文， 更没有依照承诺把论文寄给我的人。

Simp: 听着， 你既然学了一些超弦理论， 应该感觉得到那是一个美丽而且广阔的理论。

Sal: 是的， 但是 “... 我们的理论必须是关于经验所及的世界， 而不是虚构的世界的”。

Simp: 超弦理论描述的并不是一个完全虚构的世界。 它预言了费米子、 规范场、 量子理论， 特别是它还预言了引力。 在一个引力不曾被观测到的世界里， 一位超弦理论学家将可以预言引力的存在。

Sal: 教授， 您真的相信这种说法吗？

Simp: 嗯， 也许未必。

Sal: 在一个引力不曾被观测到的世界里， 一个理论物理学家一旦发现 Veneziano 振幅与现实世界不符， 将会立即抛弃它。 我们之所以对弦理论感兴趣正是因为我们已经知道了引力的存在。 若不是已经有了关于引力的知识， 弦理论根本就不会有人去认真理会。 我可以杜撰一个包含标准模型与一个新的叫做 Pippo 场的理论， 其中 Pippo 场不能离开标准模型而存在， 然后我可以声称： “看吧！ 我的理论真伟大： 假如我们不知道有标准模型， 我的理论将会预言它的存在！ 因此我的 Pippo 场也一定是存在的” 这显然是胡扯。 我们一向只研究与我们已知的东西相符的理论， 因此那种自豪地声称理论与我们已知的东西相符的做法是愚蠢的， 这就好比让 Weinberg 声称他的 SU(2)×U(1) 理论 “预言” 了电磁相互作用， 在一个电磁相互作用未被观测到的世界里， 他的理论将会预言电磁相互作用的存在。 这是胡扯， 因为在一个从未观测到电磁相互作用的世界里他根本就不会提出那样的理论。 事实上， Weinberg, Salam 和 Glashow 从来没有这样声称过他们的理论。 他们的理论真正令人瞩目、 给人们信心的是中性流以及 W 和 Z 粒子 ... 把超弦理论中存在引力这一点做为一个重大成果煞有介事地加以宣称只不过是对超弦理论无法确切预言任何新东西这一窘迫事实的一种绝望的逃遁 ...

Simp: 我想许多人也许会同意这点 ...

Sal: 现在我们只剩下最后一个观点了： 超弦理论是唯一一个可以将广义相对论与量子理论合而为一的理论。 而这把我们的话题引向了圈量子引力。

Simp: 谈够了超弦？

Sal: 是的， 现在轮到您出招了 ... 在目前这种尚无任何理论被实验证实的情况下， 这可比防守容易 ...

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下篇

Simp: 好吧。 我对圈量子引力所知不多， 若说得不当请随时更正。 但据我听说， 这个理论还无法给出低能极限。

Sal: 不错。 原则上也许可以给出， 但现在还无法做到。 人们可以写下对应于某些经典解的量子态， 但还无法给出低能微扰理论。

Simp: 而且现在还没有一个唯一的圈量子引力。

Sal: 您指的是哈密顿约束的定义允许存在不同的理论吧， 确实如此。

Simp: 这些是不完备性， 不过对于象你这样聪明的人来说想必只是小菜一碟 ...

Sal: 谢谢， 教授。 不过您说过不许嘲讽的 ...！

Simp: 好吧！ 现在让我们来谈论一些严肃的论点。 首先， 我们知道在不改变广义相对论或增加新物质的情况下是不可能将广义相对论与量子理论合而为一的。

Sal: 何以见得？

Simp: 因为广义相对论是不可重整的。

Sal: 这并不说明问题。 有许多量子场论可以有明确的非微扰定义， 但在微扰展开时却是不可重整的。

Simp: 但有什么理由认为广义相对论会象那些理论呢？ 广义相对论倒象是 Fermi 理论， 经验上很成功却不可重整。 因此我们应当改变其高能行为， 就象我们对 Fermi 理论所做的那样。

Sal: 您怎么能这么有把握地认为广义相对论就象 Fermi 理论呢？ 这固然是一种可能性， 但还有另一种可能性： 那就是广义相对论并不象 Fermi 理论， 它的不可重整是出于别的原因。

Simp: 什么原因？

Sal: 弱场微扰展开并不适用于广义相对论。

Simp: 为什么不适用？

Sal: 因为弱场微扰展开所依据的 Feynman 积分包含了无穷大的动量空间 - 也就是无穷小的体积。

Simp: 那又怎样？

Sal: 简单的量纲分析表明在量子引力中这种区域是非物理的， 它并不存在。 对比 Planck 长度小得多的自由度进行积分是没有意义的。 事实上， 圈量子引力有力地支持弱场微扰展开不适用于广义相对论的可能性， 因为圈量子引力的结果之一就是体积在 Planck 线度上是离散的。 在这一理论中并不存在比 Planck 体积更小的体积。

Simp: 我想这是圈量子引力的一个假设。

Sal: 不， 这不是假设， 而是结果。

Simp: 这个结果是如何得到的？

Sal: 体积是度规 - 即引力场 - 的函数。

Simp: 嗯。

Sal: 而引力场是量子化的。

Simp: 嗯。

Sal: 因此体积是一个量子算符。

Simp: 我在听着。

Sal: 因此它的取值有可能是量子化的。

Simp: 但你怎么知道它确实是量子化的？

Sal: 用量子理论的常用方法： 计算体积算符的本征值。

Simp: 你是说象计算谐振子的能量那样？

Sal: 一点不错。

Simp: 结果呢？

Sal: 结果表明体积算符的本征值是离散的， 其中有一个最小的非零体积。 因此不存在对任意小体积的 Feynman 积分。

Simp: 我有点糊涂了。 如果离散体积是理论的结果而不是假设， 那使理论得以定义的物理时空是什么？

Sal: 它根本不存在。

Simp: 我不明白你的意思。

Sal: 这是一种与背景时空无关的表述。

Simp: 但是一个场论怎么可能不定义在一个时空上呢？

Sal: 经典广义相对论正是这样的一种场论。 事实上它是对背景无关性的一种实现。

Simp: 在广义相对论中物质在时空中运动。 场和粒子的动力学都是定义在时空中的。 时空也许是弯曲的， 但它始终是存在的。

Sal: 弯曲时空中的物理学并不是广义相对论。 广义相对论是时空本身的动力学。 因此量子化的广义相对论是关于时空本身的量子理论， 而不是在各种时空中的量子理论。

Simp: 但是如果没有时空， 我们如何研究物理呢？ 你连能量、 动量和位置都没有了 ...

Sal: 确实如此。

Simp: 没有了这些概念我们根本不知道如何研究物理。

Sal: 广义相对论 - 无论在理论还是实验上 - 就不依赖于这些概念而做得很好。 能量、 动量和位置都是只在特定极限下或相对于特定物体才得以定义的。

Simp: 但这意味着改变量子场论的所有基本手段。

Sal: 这正是圈量子引力所做的。

Simp: 且慢， 我们在量子场论中的所有经验都告诉我们这些手段是重要的。 量子场论是我们理解自然的最有效的手段。 我无意放弃这些手段。

Sal: 但是广义相对论告诉我们必须放弃。

Simp: 你把广义相对论看得太认真了。 广义相对论只不过是描述引力相互作用的一个有效非线性拉氏量而已。 它极有可能只是一个低能拉氏量。 假如不存在对 Einstein-Hilbert 作用量的高能修正我会觉得很奇怪的。

Sal: 我想这里有一点混淆。

Simp: 混淆？

Sal: 是的， 在具体的 Einstein-Hilbert 作用量与广义相对论的本质特征 - 即微分同胚不变性或者背景无关性 - 之间的混淆。 当研究圈圈的人谈到认真看待广义相对论， 或广义相对论的本质特征时， 他们指的不是某个特定的 Einstein-Hilbert 作用量。 他们指的是基本物理理论必须具有背景无关性。 这意味着在基本物理理论中不存在一个固定的背景时空用来定义场。 相反有许多场是用来构筑时空本身的。 这， 而非具体的 Einstein-Hilbert 作用量， 才是圈量子引力想要将之与量子理论合并的广义相对论的新奇观念。

Simp: 但是背景无关性也是超弦理论想要达到的目标。

Sal: 是的， 但问题是 - 如圈量子引力所成功显示的那样 - 一个只用传统广义相对论就可以达到的目标， 为什么要用超弦理论那种尚未有人取得成功的巨大框架？

Simp: 在超弦理论中已经有迹象表明存在背景无关的理论。 超弦理论的许多部分以对偶性相互联系， 它们体现的都是同一个理论 ...

Sal: 但是迄今还没有人知道如何为这个假象中的理论构筑一个背景无关的表述 ...

Simp: 这倒是真的。

Sal: 而在圈量子引力中这种表述已经存在了。

Simp: 但却是以一种没有能量、 没有动量、 没有所有那些寻常手段的可笑方式存在的。

Sal: 人人都想要背景无关性， 但当他们终于看到它时却又被它的新奇性吓倒了 ... 背景无关性是一个巨大的观念飞跃， 你不可能用传统的方式毫无代价地得到它。

Simp: 你可以通过定义在边界时空上的平直空间理论来非微扰地定义超弦理论。

Sal: 是的， Juan Maldacena 已经指出了这种定义方式。 可是他的模型是高度非现实的， 并不描述我们的世界 ...

Simp: ... 是的， 但是它表明我们有可能通过边界理论来得到现实的背景无关理论。

Sal: 也许吧， 但是我还没有看到任何现实的模型。 或许某些时空理论与边界理论有关联， 也许因为它们具有相同的对称性， 或别的东西； 也许它们通过某些部分相关联， 这我不知道。 但即使发现某些背景无关理论可以对应于平直空间理论， 难道我们就可以说已经理解了背景无关物理学吗？ 你可以把狭义相对论与某个具有优越坐标系的理论对应起来并进行计算。 但只要你这样做了， 你就没有真正理解 Lorentz 不变的物理学 ... 我们希望找到思考背景无关物理学的正确方式， 而不仅仅是找到一种蒙混过关的手段。

Simp: 当然， 但是超弦理论的结果也许是有用的第一步。

Sal: 当然， 完全有这种可能。 我绝不是要否认超弦理论正在积极地寻找背景无关物理学， 或与之相关的蛛丝马迹。 我想说的是圈量子引力在理论的基础中就已经完全实现了背景无关性。

Simp: 我可以承认这点， 但你付出的代价却是无法恢复低能物理学。 如果圈量子引力是正确的话， 你可以计算出引力子与引力子的散射振幅吗？ 用你的有限最小体积， 你可以确定普通微扰理论无法确定的那些项的系数吗？

Sal: 我相信人们正为此而努力， 但是现在我还看不到任何坚实的结果 ... 我想这是目前圈量子引力的薄弱之处 ...

Simp: 很好。 在我已经承认了超弦理论那么多的弱点后你终于也承认了圈量子引力的弱点！

Sal: 嘿嘿 ...

Simp: 现在， 假设我相信了你的那种不带物质的量子化广义相对论。 我离现实理论仍非常遥远， 因为我们的世界是有物质的。

Sal: 在圈量子引力中可以很容易地加入费米子和 Yang-Mills 场。 事实上如果愿意的话您甚至可以研究超对称理论， 只不过这里超对称既不是自洽性所要求的， 也不是实验所要求的， 因此人们没有太大的兴趣去研究它。 不过已经有一些文章指出这是可能的。 因此您可以直接把观测到的物质耦合到圈量子引力中去。

Simp: 但是你不能解释为什么会有某种特定形式的物质， 以及为什么会有标准模型中的那些特定的耦合。

Sal: 不错。 但是迄今为止超弦理论在这方面也不见得更成功。 寄希望于某种我们还无法理解的非微扰物理从上百万种 Calabi-Yau 流形中选出一个正确的并不比坦率地承认我们还不知道为什么会有 SU(3)×SU(2)×U(1) 来得高明。 我想我们离物理学的尽头还远得很， 这对我们年轻人来说并不是坏事 ... 谁知道呢， 也许我们只是还不了解标准模型背后的深层物理原因。 我觉得比起超弦理论用某个我们对之一无所知的势能极小值来解释标准模型， 我更倾向于 Alain Connes 建立在简单几何之上的解释。

Simp: 我想当你把物质加入圈量子引力后那些通常的发散就会卷土重来了。

Sal: 完全不是！ 事实上出于一个非常简单的原因： 即不存在任意小的体积， 理论的有限性甚至可以拓展到诸如 QCD 与引力的耦合体系。 您瞧， 对 QCD 来说， 与引力耦合就好比是把它放到一个 Planck 尺度的点阵上， 从而使理论变得有限。

Simp: 目前对这些有限结果究竟研究到了什么地步？

Sal: 就我所知共有两类有限结果。 在理论的 Hamiltonian 表述中， 人们证明了那些给出理论非微扰定义的算符不会出现发散性。 事实上， 圈量子引力的数学基础是极其坚实的， 它已经达到了数学物理所具有的严格性。

Simp: 我知道。 一方面这使理论变得坚实， 但另一方面， 这也使得理论所用的语言很难被高能物理学家所掌握。

Sal: 圈量子引力还有另一种表述， 称为 spinfoams， 是用来计算振幅的类似于 Feynman 微扰展开的方法。 一些数学定理已经证明， 至少对于某些 Euclidean 版本来说这种展开是有限的。

Simp: 到哪一阶为止有限？

Sal: 任意阶。

Simp: 你是说圈量子引力的微扰展开式已经被证明在任意阶上都是有限的？

Sal: 是的， 先生。 这对超弦理论来说是不太可能的。

Simp: 既然如此， 我们为什么不能用这种展开式来计算各种散射截面， 比方说引力子之间的散射截面？

Sal: 因为这种展开式是定义在某组特殊的基上的， 但我们还不知道怎样在这组基上写下 Minkowski 真空及引力子态 ...

Simp: 好家伙 ... 你差一点就说服我也要研究圈圈了 ... 却原来研究圈圈的人还不知道怎样描述引力子， 那除了这种 Planck 标度上的圈圈图景外， 他们描述的究竟是什么样的物理？

Sal: 黑洞、 黑洞熵、 早期宇宙学 ...

Simp: 是的， 我也听说 “圈量子宇宙学” 很热门， 有人甚至声称暴涨宇宙论可以从量子引力效应中得到 ... 但是让我来泼一点冷水， 圈量子引力的 Hilbert 空间是不可分的 (nonseparable)， 对吗？

Sal: 不对。 以前曾经有一个阶段 Hilbert 空间没有合适的定义。 但是现在已经有了合适的定义， 依据这种定义 Hilbert 空间是可分的 (separable)。

Simp: 但是圈量子引力是建立在圈状态 (loop state) 之上的， 后者又是由 holonomy operator 产生的 ...

Sal: 是的。

Simp: ... 我们知道在 QCD 中这些东西可不怎么样， 它们都是不可重整的； 这种场算符只在一维空间上延展， 这是不够的。 如果你用这些圈状态作为正交基态的话， 一切都会变得一团糟。 把圈表象 (loop representation) 作为出发点本身就是错误的。

Sal: 您所说的这些对于 QCD 来说一点没错， 但引力的情况完全不同。

Simp: 为什么？

Sal: 正是因为微分同胚不变性。 或者， 如果您愿意的话， 是因为体积量子化。 在物理上， 圈状态并不是无限细的， 它们具有 Planck 线度。 从数学上讲， 那些圈状态在坐标空间的局域化是纯规范效应。 真正的物理自由度并不在于圈状态的局域与否， 而在于去除了微分同胚变换之后的东西， 即圈与圈之间的环绕与链接。 事实上， 那些无穷大正是在去除微分同胚变换时被除掉了。

Simp: 我不很确定自己是否理解了这一点。

Sal: 要真正理解就只有进入数学细节之中。 不过关键的是圈状态在引力中变成了好的状态。 让我用这样的方式来表述吧： 在一个点阵上， 圈状态可以组成完全正常的基， 对不对？

Simp: 那当然， 问题是在取连续极限时才出现的。

Sal: 圈量子引力中所有的考虑都是在一个 Planck 尺度的点阵上的， 因为圈状态并不处在一个背景时空上， 而是处在由所有其它圈状态组成的点阵上的。

Simp: 嗯， 我隐约有点明白了。 圈量子引力是 Lorentz 不变的吗？

Sal: 我不知道。 我想它应该和经典广义相对论一样。 只要引力场的状态是 Lorentz 不变的， 理论中的 Lorentz 不变性就不应该被破坏， 反之， 如果引力场的状态不是 Lorentz 不变的， 理论也就不是 Lorentz 不变的 ...

Simp: 你把解的对称性和理论的对称性混淆了。 经典的广义相对论是 Lorentz 不变的。

Sal: 这不对。 虽然 Lorentz 群显然作用在每个时空点的切空间上， 但广义相对论并不是如您所说的 Lorentz 不变的。 假如它是， 那我们就可以对广义相对论的解作 Lorentz 变换， 就象我们对 Maxwell 理论的解作 Lorentz 变换一样， 对不对？

Simp: 我们难道不可以吗？

Sal: 如果您对 Friedmann 宇宙作 Lorentz 变换， 会得到什么？

Simp: 好吧， 你说得没错。 但是如果我们额外假定时空是渐进 Minkowskian 的 ...

Sal: 如果您附加 Lorentz 不变的边界条件， 那么 Lorentz 不变性就会被引进到理论中， 渐进 Lorentz 群就可以作用在理论上。 但是我不很肯定在量子引力中会有严格渐进 Minkowskian 的量子态。 也许有， 也许在 Planck 尺度上对称性会因小尺度结构而自发破缺， 就象晶格破坏原子理论的旋转对称性那样。 但我确实不知道 ...

Simp: 但是最小长度的存在难道不是明显与 Lorentz 不变性有本质矛盾吗？

Sal: 不， 这是一种误解。

Simp: 为什么？ 假如我缓慢地对最小长度进行 Lorentz 变换， 它就应该光滑地变短 ...

Sal: 不， 这不是量子理论。 这就好比是说存在角动量 z-分量的最小值会破坏旋转对称性， 因为你可以将 z-分量光滑地旋转为零。 在量子理论中能够光滑地变化的是物理量取某个本征值的几率， 而不是本征值本身。 最小长度也一样， 它是本征值。 如果你对长度本征态作 Lorentz 变换， 你会发现长度取其它本征值的几率在光滑增加， 而不是本征值变短。

Simp: 啊！ 不错的解释。 那么圈量子引力究竟有没有预言破坏 Lorentz 不变性的效应？

Sal: 我不确定。 我想目前它就象超弦理论中大的额外维度一样， 也许存在， 也许不存在。

Simp: 嗯 ... 不过假如没有 Lorentz 不变性， 就不存在 Hermitian Hamiltonian。 圈量子引力是么正的吗？

Sal: 据我所知不是的。

Simp: 这可不妙。

Sal: 为什么？

Simp: 因为么正性是保持理论自洽所必须的。

Sal: 为什么？

Simp: 因为如果没有么正性， 几率就不守琚C

Sal: 在什么中守琚H

Simp: 在时间中守琚C

Sal: 什么时间？

Simp: 什么 “什么时间”？ 时间就是时间。

Sal: 在广义相对论中并不存在唯一的时间观念。

Simp: 没有坐标时间 t 吗？

Sal: 有， 但任何可观测量在 t 的变化下都是不变的， 因此相对于这个 t 一切都是不变的， 就象规范不变性。

Simp: 你把我搞糊涂了。

Sal: 我知道， 这一直是令人困惑之处 ... 非微扰的广义相对论与 Minkowski 空间中的物理学是很不相同的 ...

Simp: 我们必须要陷入广义相对论的这些复杂概念之中吗？

Sal: 如果我们要讨论一个号称将广义相对论与量子理论合而为一的理论的话 ...

Simp: 但是超弦理论不需要涉及这些复杂性就可以做到这一点。

Sal: 这正是我觉得超弦理论并没有真正做到这一点的原因。

Simp: 但是你曾经承认过超弦理论可以做到这一点。

Sal: 不， 我承认的只是超弦理论给出了量子引力场的有限微扰展开式， 而且这种展开式在真正有趣的情形 - 强场情形 - 下会失效。

Simp: 那么， 你认为超弦理论为什么不能将广义相对论与量子理论合而为一？

Sal: 正是因为广义相对论告诉我们并不存在一个场在其中定义的固定的背景时空， 而超弦理论却总是在一个背景时空上定义场。

Simp: 但是这种背景时空只是由对场的微扰及非微扰部分进行分解而产生的， 这是量子场论的通用做法。

Sal: 我们只在微扰理论中才这样做。 我们在将 QCD 视为格点理论的极限情形时就不这么做。 而且对引力来说弱场微扰理论也许根本就不成立。

Simp: 那你怎么看待超弦理论中的非微扰结果？

Sal: 我们所知道的是定义在不同背景时空中的理论间的对应关系。 这些是有可能存在一个背景无关理论的迹象。 但这离理解背景无关理论的基础还差得很远。

Simp: 完整的背景无关理论是极其困难的， 我们当然还差的很远。

Sal: 但是圈量子引力已经做到了。

Simp: 那么场和其它一切究竟存在于什么之上呢？

Sal: 可以说是存在于彼此之上。

Simp: 这和我所知道的物理很不一样。

Sal: 但这是很漂亮的结果。 您曾经谈论过超弦理论的美丽之处。 时空本身从激发态、 圈状态以及自旋网络 (spinnetwork) 中出现， 这正是极其美丽的物理结果。 这是量子理论与广义相对论的真正携手并肩 ...

Simp: 如果背景时空不存在， 时间也就不存在， 是吗？

Sal: 是的， 先生。

Simp: 如果你不附加渐进平直性， 那么连渐进背景时间也不存在， 是吗？

Sal: 是的， 先生。

Simp: 如果没有背景时间， 就不存在么正演化， 对吗？

Sal: 不错。

Simp: 我很难接受一个不以空间和时间作为出发点， 没有么正性的理论 ...

Sal: 我想这正是圈量子引力受到这么多阻力的原因 ... 我再重复一遍， 人人都想要背景无关性， 但当他们终于看到它时却又被它吓倒了 ... 不管怎么说， 我们都可以相信自己所喜欢的， 直到有一天实验证明某些人是对的， 某些人是错的。 在没有实验可以告诉我们的情况下， 我们只有期待未来。 不过我的观点是没有么正性并不意味着理论就不自洽。 只不过是时间的观念与动力学相互嵌套， 就好比在封闭宇宙中不存在守琲滲銃q ...

Simp: 好吧， 我接受这个。 但是我们的话题已经很分散了， 可以总结一下吗？

Sal: 好吧。 我想您对于圈量子引力的结论是： (a) 与普通量子场论太不相同， (b) 不完全， © 还无法给出低能区的物理学 ...

Simp: 而你对于超弦理论的结论是： (a) 不描述我们所生活的真实世界， (b) 没有预言能力， 因为它可以拟合任何实验结果， © 需要引进大量从未被观测到的东西， 比如超对称和额外维度， (d) 无法真正融合量子理论与广义相对论的时空观 ...

Sal: 当然， 它们有可能都是错误的 ...

Simp: 或者也可能都是对的， 圈圈也许描述了量子引力的某些部分， 而超弦描述了另一些部分 ...

Sal: 教授， 我的观点也许因为争论的缘故而有所偏颇， 请允许我做一些澄清。 我认为超弦理论是一个精彩的理论。 我对构筑这一理论的人们怀有崇高的敬意。 但尽管如此， 一个理论毕竟还是有可能十分精彩但在物理上却是错误的。 物理学史上有许多美丽的观念最终被证明为是错误的。 我们不能让耀眼的数学迷了眼。 尽管研究超弦的人们具有非凡的智慧， 尽管超弦革命具有激动人心的非凡魅力， 但是这么多年下来超弦理论并没有带给我们物理。 所有的关键问题依然杳无答案。 理论与现实的联系变得越来越遥远。 所有超弦理论预言的结果都与实验不符。 我不认为那种将超弦理论视为成功的量子引力理论的古老说法还能站得住脚。 今天， 如果太多的人去研究超弦理论， 那将是一种很大的冒险， 所有这些非凡的心力、 几代人的智慧也许会被一个美丽但却虚幻的梦想所浪费。 在超弦理论之外还有其它的途径， 那些途径必须被认真看待。 圈量子引力的研究群体比超弦小得多， 而且 - 正如您所指出的 - 也存在一些问题， 但它在一些超弦理论鞭长莫及的地方取得了成功， 并且离现实世界更近些。 如果您想象一下从量子激发态中构造出时空来， 您就会真正看到量子理论与广义相对论的融合， 这是一种美丽的融合。 我对超弦理论学家充满敬意， 但我觉得现在是到了研究其他思路的时候了。 在最低限度上， 您是否觉得这两种理论都值得研究？

Simp: ...

没有人听清 Simp 教授最后说了什么， 只记得他面带微笑。 后来有人听到他称 Sal 为固执、 但无疑是很聪明的学生。 顺便提一句， Sal 还在找工作 ...

[evaeva 10]

似乎没人感兴趣啊

有点失落。．

[AllenLi 10]

篇幅太長

寧願去看書

一直盯著螢幕看字很累的

[evaeva 10]

可是这是非常有趣的对话啊，不知道还要不要贴中下篇

顺便一提，楼上的耐久度到0了

就是挂了啊。。。= =

[AllenLi 10]

耐久度是什麼？

我跟站長是高中同學

也一樣重考，所以很久沒上來了

而且我幾乎只在本板出沒

所以數值都很低

[訪客 mj2323]

簡字蠻多看不懂太累了

[evaeva 10]

更新完成了，好卡。。。

[TIEN 10]

最初由 ae00690 發表

簡字蠻多看不懂太累了

隔壁有個正體化按鈕可以按一_一狠

[chunyuan0313 10]

轉一篇演講稿

有興趣的可以看看

有關超弦理論

SPACETIME FOR STRINGS 弦論中的時空

講者：賀培銘

　　今天我的主題是弦論中的時空，弦論是一個還沒有被證實的物理的理論，是理論物理學家講出來，希望能描述所有已知物理現象的一個理論，但是因為它非常複雜，所以我們還沒有辦法計算出任何可以實驗驗證的結果，或者反過來說是，實驗物理學家還沒有辦法做出任何我們理論可以算出來的對應的實驗，反正，理論和實驗這兩邊還沒有辦法湊攏，不過另外一方面弦論裡面的一些性質已經讓物理學家學到一些新的東西。那麼今天我要講的主題是弦論裡面所告訴我們有關時空中的瞭解的部分。

　　在還沒開始講弦論之前，我必須要先稍微介紹一下標準的物理學已經被實驗驗證的部分，我們如何瞭解時空。那麼現在已經被實驗驗證的最好的被用來描述時空的理論是愛因斯坦的廣義相對論，廣義相對論是重力的理論，基本的想法就是說時空的彎曲對應到我們平常觀察到的重力，那麼時空的彎曲它包括空間的部分也許是平的，但是加上時間以後是一個彎曲的三加一維的時空這種情形。那麼時空的彎曲程度或者是它隨時間的變化就是要用愛因斯坦寫下來的廣義相對論的愛因斯坦equation，然後根據能量的跟動量的分佈來決定。但是在這個理論裡面，雖然說比起牛頓力學裡面我們把時空當作一個固定的背景來描述，比起來是往前跨了一大步，因為時空彎曲的性質是由理論決定的，但是時空的維度和時空其他的性質比如說時空的這種平滑性，我們把時空看成是一個？，看成是一個連續平滑上面的一些函數，可以被微分的這些。

　　所以基本的性質還是我們假設的。那麼對基本的理論物理，基本的物理理論來說，希望我們的物理理論可以推出時空它所有的性質，它不是用人為的假設來決定。那麼弦論雖然說還沒有被實驗驗證，但是之所以會引起很多理論物理學家的興趣的主要原因是它包含了廣義相對論的量子化。那麼近代物理最主要的兩個發展是廣義相對論跟量子力學，但是很不巧的就是這兩個理論很難放在一起，很難同時描述一個物理現象，是同時有這個量子化的效應跟廣義相對論的效應的。如果你只是很難以把這兩個理論放在一起的話，你會發現很多無限大、很多沒有辦法解釋的事情。那麼現在目前大家可以接受可以用來考慮廣義相對論或者是重力的量子化的理論只有兩個，一個就是弦論，還有另外一個理論就不要理他了，因為另外一個理論顯然沒有弦論好，所以我們今天就不談。那麼它也是唯一一個有可能解釋其他已知物理現象的理論，另外一個理論只是完全只考慮重力的量子化，可是弦論是有可能可以包含所有其他已經觀察到的作用力。

　　這個圖就是怎麼樣用彎曲的時空來解釋重力的一個示意圖，不能夠太嚴肅地看這個圖，這只是一個感覺，有點像是一個沙發的表面，你把它看成是一個二維的空間這樣，然後呢，這個一個重的東西放在這裡的時候讓這個表面彎曲，然後如果旁邊有個彈珠滾過來的話，這個彈珠的軌道就會受到這個重的東西的影響而彎曲。不過其實這個圖像嚴格來說是錯的，因為我們現在考慮的時空本身之外沒有別的空間，也就是說這個沙發的表面如果是時空的話，它沒有第三維度的空間，其實應該是不存在的，而且其實在這個類比裡面，其實我們是用了地心引力的效果來解釋這個彈珠的彎曲，但是實際上，當然你可以想像就是一個彈珠滾過來的時候，這個彈珠因為某些原因要滾這個最短距離的線的話，要沿著測地線走的話呢，那它也是會走一個彎曲的路徑。

　　那麼一個極端的情形就是中間這個球又小又重，那麼它就有可能會形成一個黑洞，那形成黑洞的時候就是光如果在這個黑洞的？之內的話，這個裡面的光沒有辦法跑出來，所以看起來這個洞像是黑的，我們把它叫做黑洞。

　　好，前面講的是廣義相對論，所謂能在兩分鐘內講完的廣義相對論。接下來呢，我們應該就有一些時間可以講弦論。我們講弦論裡面的時空性質之前，我們先講一下弦論的一般的概念。弦論的意思就是相對於其他的一般的物理理論，其他的物理理論通常都是想像我們組成物質的基本的東西都是粒子，用粒子去解釋所有我們看到的東西，比如說我們看到的這些東西可能都是由原子所構成的，但是原子又是電子繞著原子核轉，電子在我們現在的實驗驗證的理論裡面是一個基本的粒子，原子核又可以拆成質子跟中子，然後呢，質子跟中子又可以拆成夸克，夸克在現在的理論裡面是被當作基本粒子。那麼除了這些組成物質是被看成粒子的這個形成的狀態之外，粒子之間的交互作用力，比如說電子和質子之間的靜電作用力，或者其他一般電磁波的電磁場的作用力，這些作用力也被看成是電荷之間交換光子的結果，也就是說呢，你想像有一個電子跑過來的時候呢，它忽然間丟一個光子出去，然後K到一個帶電荷的東西，那這兩個帶電粒子的路徑就被改變了。

　　所以在現在標準的理論裡面，我們用粒子去解釋物質的組成以及物質之間的交互作用。那弦論的講法是說其實雖然我們現在所有的這些電子、夸克這些東西看起來都像是點粒子，但實際上呢，如果我們有更好的顯微鏡，如果不是大家近視這麼深的話，也許我們會看到這些也許是電子呢，其實是一個小的圈圈或者是一個小的線段，也許不是不是一個點，而是一條線，那麼如果說真的是這樣子的話，你就可以想像如果我們真的是有弦而不是粒子在時空跑來跑去的話，那麼這個弦它除了可以前後跑來跑去之外，它還可以有各種不同的震動的狀態，一根弦可以震動。那麼當你的實驗設備不夠好的時候，你看到的這個弦看起來還是像個粒子，可是說如果它是以不同的震動態在跑來跑去的話，你在實驗裡面會覺得它像是不同的粒子，比如說它的這個震動的能量呢，可能會被你認為是這個粒子的質量，還有不同的震動態之間的交互作用也會不同，會被你認為是不同的粒子之間有不同的交互作用等等。所以一旦你假設有弦之後你有可能可以用一種弦去描述所有可能看到的各種粒子，我們可以看到的粒子其實已經非常非常多種了，目前初略的分也有幾十種，所以用一種弦來換幾十種粒子應該是滿好的一件事情。

　　在這裡畫了兩個可能的弦的震動狀態，上面這種叫開弦的，就是兩端是開放的弦，這個圖從左邊往右看是隨著時間增加的，這個弦的照片，所以事實上就是說這裡有一個弦在旋轉，因為它在旋轉，所以有離心力，就會抵抗弦的張力，就會保持一個長度，這是一種可能性。另外一種閉弦，這個封閉的曲線這種弦，它可以有這種震動狀態，在某一個時刻是這樣子，在下一個時刻是這樣子，然後這樣變，當然還有其他無限多種可能的震動狀態，不過這裡的這兩種震動狀態，它們事實上，你去研究這些震動狀態和其他震動狀態之間的關係，之間的交互作用的話，你會發現上面這個弦看起來其實會像是光子，下面這個弦的震動態看起來就會像是重力作用對應到的重力。

　　 所以弦和一般粒子物理很不一樣的地方就是在粒子物理裡面，如果你想要包含重力作用的話，你通常都會發現重力作用沒有辦法量子化；但是在弦論裡面，一旦你有弦了之後，你就自動包含了重力作用，這個時候，你要把它量子化其實也還是滿難的，但是經過許多物理學家鍥而不捨的努力，最後發現了五種弦論。也就是我之前我們只是粗略地講，假想有弦這種東西，但是在接下來你還是有很多可能的不同的選擇，一些細節，你在建構弦的理論的時候，有一些細節上的選擇，但是最後我們發現只有五種是自恰的，在數學上面不會計算一個物理現象時得到無限大的這種奇怪的情形。我們叫做自恰的理論有五種，分別叫做type 1，type 2b等等。

　　那麼根據現在的瞭解，雖然有很長一段時間大家覺得這五種弦論有一點糟糕，因為不知道哪一種是對的，後來大家發現這五種弦論是同一種理論的五種的不同的描述，有點像瞎子摸象的情形，不同的人摸到不同的部位的時候，他看到的東西看起來像是不一樣的，但是其實應該是有一個同一的理論把這五種弦論統一起來的，這種理論我們把它叫做m理論。

　　接下來我們就步入正題，講有關時空的問題。

　　我們先講有關時空維度的問題，因為我剛才提到在廣義相對論裡面，時空的維度是首放進去的，因為我們觀察日常生活以及一般物理實驗裡面的現象，發現我們所處的空間就是三維的，然後我們所感覺得時間是一維的，所以我們通常都說我們活在三加一維的時空裡面。但是其實愛因斯坦的廣義相對論，你可以很容易的把它推廣到任意空間的情形，時間超過一維總是很難想像那種情形，所以在這裡我就不討論。那麼在實際的模型的建構當中，我們也沒有找到同時可以量子化，而時間超過一維的理論。所以今天我只考慮空間的維度的其他可能性，時間一維我們暫時當作還無法處理，或是不證自明的一件事情。

　　 根據弦的理論，我們等一下會談到這五種已經知道的自恰的弦的理論，它們的維度都必須要是九加一維。

　　 我們先看一般的例子，物理的理論。在三維空間裡面，有一個粒子它的位置要三個參數來表示，然後呢，如果現在你考慮三加一維的時空的話，我就必須要把兩個空間畫在一起，這個Y、Z擠在一起，這個時候一個粒子的軌跡在時空裡面就變成一個一維的曲線。很自然的問題，就是為什麼時空的維數是三加一？這個是物理學家奇怪的習慣，他們不講四，他們就喜歡講三加一，好像他們不知道三加一等於四一樣，不過，反正我們現在都這樣講。有沒有可能說時空的維數不是三加一？有沒有可能說空間的維度是大於三或是小於三呢？還有就是我們要怎麼樣定義時空的維度？這個問題現在看起來有點奇怪，不過等一下也許沒有那麼奇怪。

　　 為什麼空間是三維的？我小時候就在想這個問題，那我想到呢，如果說如果空間小於三維的話，如果空間只有兩維的話，你很難形成消化系統，就不會有機會來講生物的問題了，因為如果說有一個人他可以吃東西的話，他可以排泄的話，他這兩半很快就分開了，在這種情況底下你也不用穿衣服，因為衣服馬上就變成一條線這樣，如果說這個真的是一個二維的空間的話，好像有這個問題。不過後來我發現這個argument是一個很傻的argument，因為第一點就是說，其實我還是可以想像有生物消化的過程，一開始只有一個細胞樣的東西在這裡，然後有一個東西跑過來被他吃進去，然後慢慢的變成這個樣子，然後這樣，然後營養被吸收，最後被排出來。還有呢，就是說通常我們要解釋一件事情的話，其實是要用比較簡單的原則去解釋比較複雜的現象，而不是用比較複雜的現象去解釋比較基本的問題。那生物基本上，如果你碰到一個生物現象想要瞭解他的話，就是你把它變成一個化學程式的問題，就說你瞭解它，如果化學的問題能變成物理的問題，就說你瞭解它。但是你不能說如果物理的問題能變成生物的問題的話，你就可以瞭解它，那樣是奇怪的一個想法。所以後來我就不接受這種說法。那我們要有一個問題：就是物理的問題要在什麼地方解決才叫被解決呢？當然就是數學。

　　在弦論裡面呢，如果說我們希望得到一個自恰的弦論，結果發現空間必須要求是九，所以這個也是弦論的一個特點，就是空間的性質是被這個理論的自恰性限制。那麼為什麼有弦論就要有這個九維空間呢？這個推導過程大概是這樣，首先你想像有弦這個東西，那這個弦在時空裡面跑出來的軌跡在這裡變成一加一維的曲面而不是一個一維的曲線。那我們認為在這個弦上面應該有一個對稱性對應到的是弦上面的座標應該是有物理意義的，唯一有物理意義的事這個弦怎麼樣在時空裡面跑，那這個對應到弦的模型裡面的這個對稱性，然後我們把它量子化以後的這個對稱性還是被保持，結果就發現必須要有九維的空間。

　　量子化基本上是一個奇怪的說法，意思就是說過去我們的牛頓力學或者是古典電磁學都是古典的理論，古典的理論裡面所有的物理量在計算的時候都被當作數字，量子化的意思是把你這個古典的理論用一個量子的理論取代，也就是說實際上實驗發現我們並沒有辦法真的用古典理論描述精確的實驗。實際做物理實驗的測量呢，有可能每一次都測量到不同的結果，雖然說你的準備的方法，你的實驗設計、實驗準備的過程可能完全一樣，但是也許每一次測量的結果都不一樣。所以後來大家想到一個辦法就是改用一個？，有點像是一個矩陣去對應到一個物理量，而不是用一個數字去對應到一個物理量把對應到物理量的數字變成？的過程我們就把它叫做量子化。當數字變成？了以後，變成一個像矩陣的東西的時候，你就可以把這個矩陣對角化，然後這個對角的這些數字就當作你在測量的時候有可能會量到的數字。物理裡面基本上有一個過程是你給我一個古典的理論，我就把它變成對應的量子理論的這個過程，我們把它叫做量子化。

　　一加一維的弦跑出來的這個曲面，你可以給它兩個座標來描述這個曲面上的點。我們真的在建立一個物理模型的時候，必須要用到這個座標，作為你寫這個方程式的方式。那這個對稱性呢，我們現在要求的對稱性就是你怎麼樣去選弦上的這一點叫做(1,0)或者是(0,1)，應該跟實際的物理是無關的，這個實驗對稱性。實際跟物理有關的是這個弦在空間中跟時間中的位置。這個細節大家不知道沒關係，反正結論就是我們需要九維空間。

　　雖然說我們的空間看起來像三維，但是實際上是不是有可能空間是大於三維，如果不可能的話，我們根本就不必考慮弦論了，因為弦論說它是九維，如果這個不可能的話，我們就不用理它了。事實上呢，很久以前，在有弦論之前就有人考慮過有可能我們實際的空間是超過三維的，一個類比就是假想有一維的生物，或者嚴格來說有二維的生物，但是它所存在的二維空間是像一個管子一樣，像一個管子的表面一樣的這種外圍的空間，假設這個管子很細的話，而且假設活在這個管子上的生物或者是大部分在管子上的物體都是在管子的截面方向上均勻地分佈的話，那麼對這些管子上面的東西來說，就好像是它們活在一個一維的空間上面一樣。把它變成三維跟二維的類比的話，就是有兩個三維的空間，但是其中一個方向是被限制在一個很小的範圍上，也許這個很小的距離加上週期的邊界條件，要求所有的物理量都有週期性的性質，那麼這個時候可能很多在這個方向均勻分佈的東西都會以為他們是活在一個二維的空間上。但是為什麼可以假設大部分的東西都是在這個小的維度上均勻地分佈呢？這就有量子力學的理論基礎，就是假涉有一個維度很小的話，那麼根據量子力學，這個在很小的維度的方向上面如果有一個物質的質量有變化的話，那麼你總是可以對他分成正弦函數或者餘弦函數的疊加，其中的每一個正弦或餘弦函數呢，它對應到的動量或者是能量會和這裡面出現的幾個週期，這個整數除以額外維度的寬度R，會由這個數字決定。

　　所以當R很小的時候，額外的維度很小的時候，這個動量或能量就會很大，也就是說如果你想要看到不均勻的，在這個小的維度的方向上不均勻的物質分佈的話，你需要用很大的能量才可以看得到。如果說你不特別提供我很大的能量的話，大部分的東西都很快的朝能量最小的狀態演變，最後大部分你看到的東西都是能量比較小的東西，看起來也就是在這個額外的維度上均勻分佈的東西，所以你就會以為其實你活在一個維度比較小的空間上面。這種理論我們把它叫做Kaluza-Klein理論，最早是這兩個人提出來的。

　　他們最早想要去做的事情是去考慮五維時空的廣義相對論，因為他們發現廣義相對論在其他的維度也很容易推廣。結果他們發現如果多出來的第五維，也就是你想像我們活在三加一維的時空裡面，而三加一維的時空裡的每一點又多出來一個很小的圈圈，多出來一個很小的維度的話，那麼這個時候，五維空間裡的廣義相對論事實上看起來會很像是我們看到的大的三加一維裡面的廣義相對論，再加上電磁場的理論。

　　 那麼根據實驗呢，我們現在可以達到的能量最大的實驗，它的能量大概是這個等級，它的數字很小，不過這個意思是說它可以把一個粒子賦予這麼大的能量，所以對一個粒子來說就是很大很大的能量，因為一個粒子的質量通常非常非常小。那麼根據一個這麼大的能量的實驗，我們可以確定多出來的維度的大小呢，事實上還是很小，十的負十七次方公分的尺度所以事實上有可能我們多出來的第五維、第六維的空間維度，只要這些空間維度小於十的負十七次方公分的話，那麼我們所有的已經有的實驗都沒有辦法分辨到底是不是真的有這些多出來的維度。

　　在這裡是人家畫的兩個比較好的圖，基本上是一樣的意思，這個是多出來的一維，想像這個二維的面是三加一維的時空，然後每一點上多出來一個小圈圈，這就變成是一個五維的時空。底下這個圖比較怪異，這個是想像平面是對應到三加一維時空，然後在每一點上面還有一個多出來的空間，據說他畫的是Calabi-Yau space，是卡拉比和？這兩個人，跟他們有關的空間。根據弦論，因為某些技術上的因素，很多人特別喜歡考慮多出來的空間是Calabi-Yau這種特別的情形。這個卡拉比？其實是一個六維的空間，因為我們弦論裡面的空間是九維的，那我們看到的空間是三維的，所以弦論裡面多出來的六維空間必須要縮得很小，我們一般都會想像它是所成Calabi-Yau的樣子。

　　 前面講的是第一種可能性，也就是說也許實際空間大於三的第一種可能性。時間維度可能大於三的第二種可能性是比較後來才想到的一種可能，是說Brane world的這種可能性。這個Brane其實不是英文，是從？這個字「膜」衍生過來的，通常？是對應到二維空間的？，但是我們現在考慮也許不是二維空間的subspace，我們就把它叫做Brane。這個是因為弦論裡面發現一旦你假設有弦之後，我們就必須要選跟剛才講的五種弦論之一，或者是哪一個無所謂，最後你研究這個理論的時候，你就會發現這些弦有可能會形成一種巨觀的狀態，就好像水分子獨立來看是像一個一個點，但是很多水分子，一大堆放在一起變成水以後就可以形成水波或者是其他的巨觀上面的東西。

　　我們發現在弦論裡面有一種巨觀的東西，我們就把它叫做Brane，這個Brane就像是空間裡面的一個subspace，這個subspace的性質是可以讓弦的兩個端點被釘在這個subspace上移動，而沒有辦法離開subspace，事實上你可以想像在這個subspace的這個地方，空間彎曲地太厲害了，然後弦有一半被吸在裡面，只有露出一半來給你看到。不過不管怎麼樣，就是弦論裡面自然地就會有這種東西出現，這時候有一個可能性，就是其實我們活在一個三維的Brane上面，然後我們看到的物質以及光子等等這些交互作用對應的粒子，其實都是像這種只能夠在Brane上面移動的弦所對應的粒子，也因此當我們用光子或是其他的粒子去探測時空的時候，就好像你只用這些被限制在Brane上面的弦去探測時空一樣，你所探測到的當然就只有三維的空間，其實還有多出來別的空間，但是你沒有探測到。

　　在另外一方面呢，你可以想像這種弦扭來扭去以後，可以變成一個比較短的弦，然後丟出來一個封閉的弦，這個封閉的弦就可以跑到額外的維度上去了。但是你怎麼知道哪一種粒子可能對應到這種封閉的弦，可以跑出來的？有一種粒子一定是這樣的，那個就是重粒子，因為重粒子必須要可以對應到整個時空的彎曲，包括多出來的空間。所以重粒子一定要是，只能是對應到這種可以到處跑出Brane的這種封閉的弦的粒子。

　　但是另一方面呢，我們對重粒子的實驗的精密度比起其他粒子來說還差很多，根據我們最好的重力實驗，所能夠確定的，多出來的維度的大小，我們只能限制它在0.1mm之下，0.1mm這個距離如果你用光子看的話都可以看得到，現在的說法是說你可以用光子在這個Brane上面量到很短很短的距離，像剛剛講的十的負十七次方公分，但是你要對額外的維度測量的時候，你只能夠用重粒子去測量的話，這時候其實你額外的維度可以很大，可以大到這麼大，你都不知道。但事實上還有一個可能就是根本就是無限大，根本就是沒有限制的，但是只要說額外的維度它的彎曲的程度夠大，使得重力的現象會有被侷限在Brane上面的這種情形也可以。多出來的維度如果完全是平的話，你在做重力測量的時候，這個重力作用的強度就不會是跟距離平方成反比了，而是根據更高的次方成反比，但是那個假設還是平的，如果很彎的話事實上就有可能它還是跟距離的平方成反比。

　　所以這種新的理論，我們另外叫做Large Extra Dimension，它多出來的維度可以是很大，可以到0.1mm這麼大，也可以是無限大，但是這種只要它夠彎就好。

　　廣義相對論還是可以從弦論裡面推導出來一個近似，弦論不能夠與原來已經知道的理論差太多，只是它被想成是一個更精密的理論，但是過去廣義相對論所告訴你的事情都還是大約是正確的。

　　 今天考慮了兩種空間維度可能大於三的情形，就像我們在考慮空間維度可能會小於三的情形這個看法一開始看你可能會覺得莫名其妙，但是就像剛才這個同學問的，你要怎麼定義維度？你要先想這個問題。如果你沒有清楚地定義維度的話，你可以隨便定義一個數字，可以定義D=2.5，那不代表任何意義。

　　在一個物理的理論裡面，物理量比如說弦論裡面的波函數，或者說簡單地想像一些密度的這種的物理量，那麼像這些物理量呢，通常我們都把它想成是時空的函數，比如說空氣的密度在空間中的任一點，不同的時刻可以有不同的密度。如果說一個物理的理論裡面，所有的物理量都寫成這些東西的函數的話，那麼你看這裡有一個t，然後有D-1個x，然後你就說這是一個D維時空的理論，我們這樣子來定義時空的維度。但是呢，有沒有一個可能是在某一個理論裡面，所有的這些物理量我把它叫做ΦI，I是所有的物理量的index，它裡面有D個時空座標，但是在另外一個理論裡面，也許只有D'個時空座標，卻讓這兩個理論事實上是等價的，有沒有這個可能？當然兩個理論是等價的意思就是說，我們對於同一個實驗預測的結果必須要是一樣的，但是這同一個實驗並不需要被解釋成是同一個東西，你可以是由兩個名字不同的函數對應到同一個實驗的結果。

　　所以如果在這裡你只是用物理量來label物理量的參數的數目來定義時空的話，原則上來說反正你有無限多個可以測量的物理量，你有可能有不只一種方法去label所有可以被測量的物理量。你用不同的方式去label的時候，其實最簡單地想法就是你把其中一個x丟到I裡面去，當作是I的label的一部份，這時候你就等於改變了時空的維度。所以在這個意義底下呢，時空的維度對應到的其實是一個方便性的問題，你要怎麼樣去label物理量，才會給你一個比較簡單、比較方便的理論。有可能不同的物理現象要用不同的物理理論來描述才比較方便，所以可能沒有唯一絕對的時空的定義，也許要看你正在考慮的物理問題以及你實際的物理狀態，才能決定到底用哪一個來描述才比較方便，也才能決定時空的維度。

　　 我們在這裡看兩種可能性：第一種可能性是剛才講的一個M理論的東西，跟一種弦論之間的等價的關係。這兩個理論呢，它們對應到的時空的維度不一樣，一個弦論是對應到九維空間跟一維時間，而M理論呢，我們想像它是有十維空間跟一維時間。但是如果說我把其中一維空間，給它一個週期性邊界條件的話，然後讓它縮得很小的話，這個時候這兩個理論有可能是等價的。在M理論裡面，低等的東西不叫string而叫membrane，這是我們叫它M理論的原因之一。如果你有一個二維的膜，你可以把這個二維的膜繞在圈圈上面，那麼它在剩下來的九加一維時空裡面看起來就會像是一條弦；如果你不把它繞在上面，它看起來會像是剛才講過的Brane。在這裡你同樣看到的都是membrane，但是我們區分就看它有沒有繞在圈圈上面，我們對應到另外一個理論時可以把它看成是兩種完全不一樣的東西，這兩個理論還是可以等價的，我們對同一個實驗預測的結果，最後你在實驗室的電腦上面看到的數字可以是完全一樣的，雖然說你對實驗發生的過程的解釋可能完全不一樣，但是對最後的數字的描述會完全一樣，這時候我們就說它是等價的。

　　另外一類等價的可能性是一個更奇怪的情形，就是說我們發現有一種弦論，如果它的十維時空是一種特別的情況，我們在這裡把它叫做AdS跟五維球面的乘積的這種奇怪的時空，我們發現它可以用三加一維時空裡面的理論來描述，事實上這兩個理論呢，雖然說它們的維度差很多，但卻是等價的理論。這個事實上是有些物理學家認為in general，如果你有一個理論包含重力量子化的話，你總是可以用一個比較低維度的理論去描述一樣的現象，這個叫做全像原理Holography。

　　所以第二類跟第一類的差別就在於第一類的理論裡面，兩邊都還有重力作用，但是在第二類的理論裡面，只有一邊有重力作用，維度比較低的那邊沒有重力作用。不過不管怎麼說，我們在這些例子裡面可以看到，有可能對不同的物理現象、對不同的計算來說，某一個理論是比較方便的，這個時候你可能就會認為時空的維度是不一樣的。

　　這個事情我們重新再說一次的話呢，就是說物理理論告訴你的是可以測量的量之間的關係。我們有很多物理量，那這些物理量你可以叫它不同的名字。如果有兩個外星人在這裡看同一個物理現象，他們可能有完全不一樣的描述，但是最後你可以說的是什麼？最後你可以說的是，他們對於初始狀態來說，他們都是用一組數字去描述初始狀態，然後你如果問他們，經過一段時間演變之後，最後要用同一組數字，同一組測量最後得到的結果來描述末狀態的話，如果這兩組外星人都給你同樣的答案的話，那你有同樣的理論，但是他們會認為他們看到的是完全不一樣的東西。時空只是看你怎麼樣方便，用你方便的理論裡面來label物理自由度的參數。

　　 另外一個例子是所謂的T-duality。我們知道有兩個弦論呢，我們如果把其中一個弦論的空間想成是一個八維的空間加上一個縮得很小的一維空間，另外一個弦論是一個八維的空間加上一個比較大的圈圈的話，這時候這兩個理論也可以是等價的。這時候一個繞在這個圈圈上面的弦呢，會被看成是沿著這個圈圈跑，但是沒有繞著上面的弦；反過來說，沒有繞在這個圈圈上面沿著圈圈跑的弦，會對應到繞在圈圈上的弦。所以當你用這個理論或這個理論看同一個東西的時候你會有不同的描述。而這兩個圈圈的半徑的關係剛好是倒數的關係，這個α'是弦論裡面的一個常數。我們之所以把它叫做T-duality就是因為在這個duality裡面，在這個對偶性裡面，這兩個理論它們主要的差別就是它們的空間不一樣，而空間從弦的角度來看是Target Space，你把弦看成是從一加一維時空映射到九加一維時空的map的話，那這個九加一維時空就是Target Space，那麼因為Target Space的對偶性，所以我們把它叫做T-Space。

　　你在數學的研究裡面呢，一個很重要的題目Mirror Symmetry，其實也可以看成是一種T-duality。Mirror Symmetry本身討論的是不同的空間之間的性質的關係，對於研究弦論的人來說，我們從物理的理論裡面知道，這兩個弦論除了這兩個情形之外，其實還有很多很多其他的情形是你在左邊的弦論裡面有某一種空間，在右邊的弦論理有一種空間，然後你知道它們對同一個量做測量的時候一定會得到一樣的數字，所以有可能對於這個空間來說，你要做一個計算也許很難，但是你把它換成另外一個理論裡面的問題的時候，可能就對應到一個簡單的問題，那時候我們就可以很快地把它解決，然後回來看這個理論裡面計算的結果是什麼。

　　 那麼數學的，有關於空間的，就是用來classify空間的一些性質也對應到一些物理量，所以我們可以利用物理理論，找到不同空間之間的關係，這個可以說是弦論對於數學界的少數貢獻之一，大部分的情況都是物理學家從數學家那邊學東西。

　　在這裡我再舉一個例子來說明時空的定義常常只是方便性的考量。對於不同的probe，你用不同的東西來探測時空的時候，你會探測到不同的時空。比如說我們這個圖對應到剛才看到的黑洞的圖，如果你有一個點粒子在這裡的話，它會讓時空的彎曲在這裡有一個singularity，但是這個點真的是無限小的點。那麼如果另外有一的點粒子掉進來的話，它就「咚」的就掉進來了。但是如果說你現在考慮的不是一個點，而是某一種很多很多點的共同的震動狀態，這個時候呢，也許它有很大的質量讓這個空間彎曲，可是它就不會形成singularity，它會形成一個平滑的throat，這個時候如果你丟一個粒子進來的話，他就會一直往下掉、一直往下掉，他不會碰到singularity。在弦論裡面，因為我們有不只一種throat，像我們剛才講，一旦有弦了之後，才會有brane，所以你可以用一個弦去探測一個弦，或者是用一個brane去探測一個弦，或者是用一個弦去探測一個brane，或者是用一個brane去探測一個brane。然後你就發現如果你用弦去探測弦的話，你會看到類似這種情形，你用brane探測brane的話也會有這種情形。但是另外兩個情形呢，你就會看到這種情形。所以就是說同一種弦造成時空的彎曲，在你用不同的probe去看它的時候，其實你會發現這個probe看到的時空彎曲的情形是非常不一樣的。

　　所以我們的時空到底對應到哪裡，就要看我們實際上容易在實驗室裡操控的這些粒子到底對應到的是brane還是弦。而事實上電子有可能不是對應到一個弦，而是對應到一個brane，也是有這種可能。

　　底下我們再說的有關時空的基本問題，比如說我們通常都想像時空是平滑的連續的，你不會得到有一個地方突然間就不見了；然後我們想像時空是一種點的集合，但是其實還有別的可能，比如說我們剛才講，很多物理量是把它看成是時空的函數的話，你可以考慮如果物理量滿足某一個波方程式的話，當然我們有很多這種例子，它們滿足的是這個前面等於零的這種公式。可是實際上你真的考慮一個波的演變的話，它通常都不會是exactly，真的是跑得無限遠的這種波，它總是有一些交互作用，所以就會有後面這些非線性的項跑進來。

　　 我們在弦論裡面發現一種情況是，有的時候，它滿足的這個equation剛好可以用一種新定義的乘法來簡單地描述後面這個無限多項的計算，你可以把後面這個無限多項合起來，對應到這個 * product，這個 * product的定義是這樣。你用 * product去計算兩個座標x乘y減掉y乘x的話，你會發現它不是零，也就是說這個乘法是不可交換的，所以我們叫做非交換幾何。也就是說你這個空間本來是想像x、y都是數字，它是點的集合，它是連續平滑的空間，但是你的被測量的物理量是要放在另外一個比較奇怪的空間描述的時候，才是最方便的，這樣子的理論是比這樣子的理論要方便很多的。所以這個時候我們甚至會把時空的參數變成是不可交換的代數算子，它的性質除了不可交換以外，它還是保持原來associative的性質，也就是三個函數用新的乘法相乘的時候，只要前後不變，乘的順序改變是沒有關係的。

　　在這種座標定義出來的空間，你就沒有辦法再把它想成是點的集合了，如果它是點的集合的話，給你一點你就應該要能夠告訴我這一點的x跟y的值。所以θ只是一個數字，這個是弦論裡面算出來的，在不同的情況底下有可能算出來是不同的數字。這個θ也有可能是x、y的函數，各種情況都有，反正它現在的性質是它不再可以交換，x乘y跟y乘x可以是不一樣。有人開玩笑把這個叫做pointless geometry。

　　這個問題其實是數學家在之前已經研究了一段時間的問題，也就是非交換空間上的幾何的問題。一般的點的空間，點的集合所形成的空間呢，它上面的幾何通常都有兩種可能的描述：一種描述就是直接去描述點跟點之間的關係，另一種描述是你去考慮這個空間上的函數所形成的集合，然後這個函數所形成的集合形成一個代數，形成一個乘法關係，兩個函數f乘g會成為一個新的函數h，對於一般點的空間來說，f乘g跟g乘f會剛好是一樣的，所以這個函數所形成的代數會是可以交換的代數。可是如果你現在想像說我有一個幾何的概念，它可以用點來描述，也可以用函數來描述，這時候我可以忘記它原來用點來定義幾何性質的方式，而我用函數這個概念來定義它的幾何的方式，然後我在定義的時候，我就不要在要求這個函數的乘法可以滿足交換的關係，這個時候我就很自然地把以前已經有的幾何觀念推廣到非交換空間上面，所以大部分的幾何觀念都可以推廣到非交換空間上，包括距離的觀念。基本上一般的說法就是大約就是你把以前可以交換的這種代數換成不可交換的代數就好了。

　　 函數原來的定義是一點點定義出來的，但是最後我可以只看它的乘法關係。我們在這裡其實用了一個數學定理，就是對於某些好的空間來說，其實空間上面的函數的乘法其實唯一決定了原來的空間。這個想法基本上是這樣子：某個人給你一個空間，然後他就找到這個空間上所有的函數，然後他就把一個函數叫1、一個函數叫f2、一個函數叫f3，他不告訴你這個函數到底是怎麼樣對應到空間上的函數，只給它一個抽象的名字，但是他也告訴你f1乘f2等於哪一個東西，所以他最後給你的是一個抽象代數。這時候你要怎樣找到原來的空間呢？怎麼樣去找這個代數的max ideal，就是你把它乘來乘去、乘來乘去，這個對應到說，就是你這個函數原來可能是在空間上的某一點，剛好是零，所以你把這個函數去乘任何函數的話乘出來新的函數一定是在原來的同一點：零。所以所有在同一點是零的函數就形成一個ideal，就是隨便拿別的函數來乘的話，它一定還是在這個集合理面。所以所有的max ideal的集合就能夠對應到原來的點的集合。所以如果你告訴我說，這些函數中有哪些函數，然後哪兩個函數靠得比較近的話，我就可以回去找到原來空間的點與點之間的關係，在古典的情況底下，我們就靠這個看函數的乘法而不管原來的點的關係。但是你一旦相信這個以後，一旦你相信幾何的基本意義只需要看函數來定義的話，那我們就可以不再管這個點的定義了。

　　今天我跟大家提到比較跟數學有關的，一個是Calabi-Yau space，而這個可能是一個題目；還有就是Mirror Symmetry，然後還有就是非交換幾何。 我今天的結論就是說：雖然說弦論是不是正確呢，還很難在短期之內驗證，但是在理論上它已經提供了很好的例子，它提供一些很好的例子說明物理定律有可能怎麼樣去描述時空，有可能怎麼樣去限制時空的維數和性質，而且有可以用什麼樣的角度去瞭解時空的意義。

　　 在這裡我用一個我很喜歡的定理matrix theory的一個圖作為總結。

　　 廣義相對論的部分是跟以前的結果近似，就是我們把以前的結果當作是一個近似，我們現在有更精確的結果，這樣。粒子物理的部分，理論上來說也是一樣，但是實際上我們還沒有真的能夠計算出可以跟以前的理論對應的結果，比較realistic的狀況的計算對我們來說都還太複雜，因為沒辦法算出來。所以我們甚至不曉得到底一個電子到底是應該對應到一個弦還是對應到一個brane，連這種我們都不知道。但是從理論的角度來看，原來已經有的理論肯定是有問題的，因為我們已經有的粒子物理的理論呢，第一個它很難描述重力作用的量子化；第二個就是所有的這些理論裡面都有無限大的問題發生。那現在的物理學家是用一個奇怪的方法去處理這個無限大的東西，然後經過一套手續以後把這個無限大的東西用一套方法丟掉。但是這一套方法本身背後的物理意義就是告訴你說，我們現在的物理理論一定是一個低能量裡面近似的描述，它不可能是一個基本的理論。相對的弦論裡面的計算就是所有合理計算得到的都是有限的，目前我們還沒有發現沒有辦法面對的情形，就是都可以說一個合理的計算結果最後得到的都是有限的，所以弦論有可能是一個基本的理論，而現在有的其他理論是不可能是一個基本的理論。

　　這個要講細節我就不太確定要怎麼講了。你要先對原來的空間做某些表示，我現在沒有把握把這個原來的定義和條件講清楚。那這個基本上這個函數應該是一個連續的函數，那我們recover的只是原來的topology，還沒有談到其他的性質，你如果要建立別的性質的話，就還要加別的性質進去。 這裡應該還不需要談論到微分，因為這是compact ？上面的函數，我們考慮它的連續函數的代數應該是這樣子的，但是我不確定我的對應是完全正確的，因為坦白說我不曉得它在講什麼。

　　其實它事實上不是真的自我相似，所以才會需要？，也就是說你這個物理並不是真的在？的改變底下不變。比如說我們現在考慮凝態物理的問題，我研究一些材料，在比較大的尺度底下，這個桌子、椅子或這些東西看起來都像連續的東西，然後我測量它的性質的時候就會有一些參數。在我下一次做實驗的時候，我用來測量所有物理量的尺度通通都改變，我原來一個探針的寬度也許是0.1mm，也許我下一次做實驗的時候是0.001mm，再下一次做一個奈米的實驗。你每一次做實驗的尺度如果都不一樣的話，你用同樣的方式去定義一些參數的話，你會發現這些參數有可能會不一樣，你做實驗的？不一樣的時候，用同樣的relation定義出來的參數有可能不一樣，那這個對應到？。你可能如果說你現在測量的尺度趨近於０的時候會得到無限大，但是我不管它，我就先只看有限尺度的問題，我就告訴你說，在某個有限的尺度的時候，比如說一個奈米的尺度底下測量一個物理量的時候，測量參數的時候要量到這個參數等於1，那所有用更大的尺度，比奈米大的尺度量的時候，它會也許等於1.2啊，也許等於1.5，但是我都知道。但是你如果問我說用一個比奈米尺度更小的的尺度去測量這個參數的話，也許我就可能量到無限大，我就不知道。

　　 假設說額外的維度，比如說某一個尺度，比如說十的負二十次方公分，如果說我的能量沒有大到可以分辨這麼小的距離的話，那我就看不到這個額外的維度，那我就只看到三維大的空間。除了這個還有其他brane world的可能。

　　 我們只是用數學的定理給我們一個物理的intuition，幫助我們相信其實我們在定義空間的時候並不一定需要考慮一個點所形成的集合的空間，我們可以考慮非交換的空間，只是這樣子。那麼空間到底是什麼，就要看哪一個理論在你所考慮的問題裡面最方便，那它的空間有可能是非交換的，有可能是一般的點的集合，有可能是這個空間，有可能是那個空間。所以並沒有說我們的空間特別一定要是這樣子。