【問題】平面上給兩相異點 求通過使上述兩點間距離最短的曲線

[九天驚虹 10]

如題

我想大家都很清楚是直線

不過該怎麼證明呢:s

今天似乎是我第一次看到證明(利用微積分)的方式

有股莫名的感動

寫了一堆算式 最後證明

其軌跡是通過兩點間的直線

[00 10]

證明可否貼上來？

[九天驚虹 10]

證明可否貼上來？

證明不算短

要寫出來也是一件麻煩的事

可能要我很有空才會做

也許板上也有人可以做這樣的事

或是有其他的證明(其實我想看看有沒有其他的方法證明:p)

不過我可以將解法的精神寫出來

這邊的數學技巧 可以參考 費曼物理學講義

我記得應該是第二冊 在專門談論到 最小作用量原理時 就會介紹到微積分一個分支 變分法

(Way1)

首先是假設答案是 y(x)

但通過給定兩點間的路徑何其多 我們必須要一一的去考慮

因此考慮一個新的函數 Y(x)=y(x) + e(x)

其中e(x) 在x=x1,x=x2時 其值為零 (假設平面上兩點為(x1,y1),(x2,y2))

因此Y(x) 就代表了所有可能的路徑

在極值附近 Y(x)的改變量有一個特色便是 其改變量會正比於微量變化的二次方

因此考慮 dY 然後令微量變化前的係數為零 (其實就是在處理Way2的式子)

就會得到一個 積分恆等於零的式子

接著通常會運用到分部積分(by parts)的技巧

如此就能推論 被積項一定是零

於是就得到了一個微分方程

接著解出這個微分方程 就可以知道了y(x)

(Way2)

考慮新的函數時 Y(x)的形式是

Y(x)=y(x) + a*e(x)

a是一個參數 當a=0時 Y(x)就是我們所要的路徑

因此 dY/da =0 當 a=0

接著在做下去... 算的東西跟Way1一模一樣

其實 Way1跟Way2的精神是一樣的 它們會得到相同的方程式