【問題】想問有沒有好解法？

[我是福氣 10]

這題曾是建中考題，想問一下有人可以提供「好的」解法:)

[weiye 10]

跟 http://www.student.tw/db/showpost.php?p=1433938&postcount=6

這題類似，目前沒想到更好的做法，期待其他網友囉:-)。

[我是福氣 10]

跟 http://www.student.tw/db/showpost.php?p=1433938&postcount=6

這題類似，目前沒想到更好的做法，期待其他網友囉:-)。

前面做法一樣，利用a+b=-c以及ab=-3-(bc+ca)=-3-(a+b)c=-3+c^2，得

(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=c^2-4(-3+c^2)=12-3c^2=-3(c^2-4)

所求=-27(c^2-4)(a^2-4)(b^2-4)

後面我不是用乘開，而是建立方程x^3-3x+1=0 → (x^3-3x)^2=(-1)^2 → x^6-6x^4+9x^2-1=0

→ y^3-6y^2+9y-1=0 → 用綜合除法得 (y-4)^3+p(y-4)^2+q(y-4)+3=0

→ 三根積(a^2-4)(b^2-4)(c^2-4)=-3

故所求=-27*(-3)=81

殊途同歸:)，一樣期待其他網友有不同的做法。

[我是福氣 10]

剛剛在「鐵傲」看到版主回覆的解法：

Δ=(c-b)(c-a)(b-a)

由三根關係可設(x^3)-3x+1=0(其中a，b，c為其方程式之三根)

(a^3)-3a+1=0......(1)

(b^3)-3b+1=0......(2)

(1)-(2)=>(a-b)(a^2 +ab+b^2)-3(a+b)=0

=>(a^2)+ab+b^2=3

=>(a-b)^2=3(1-ab)=(b-a)^2

同理(c-a)^2=3(1-ac)，(c-b)^2=3(1-3bc)

Δ^2=[(c-b)(c-a)(b-a)]^2

=27(1-ab)(1-bc)(1-ca)

=27[1-(ab+bc+ca)+abc(a+b+c-abc)]

=27[1+3+(-1)]=81

感謝回覆:D

[Zeta 10]

一樣期待其他網友有不同的做法。

我不知道這樣是否行的通？擺脫根與係數的常用思考，而以幾何角度來看這題

我曾經想過把第一個式子的左邊寫成一個對角矩陣，也就是3X3方陣與3X1矩陣的乘積 ( 方程組的常用表達法 )，是可以寫，但不知道要如何操作下去；或是把第一個式子中每一個等式的等號左邊看成是兩個向量的點積 ( 因為題目中看到兩兩相乘 )，好像也是一個方法，但也不知道要怎麼操做下去，都忘的差不多了～

第二個式子的行列式已經定型化了，運算過程就是那樣，所以我沒有考慮從那裡去做改變，倒是第一個聯立方程組的表達方式可以拿來做很多文章

希望有網友可以用矩陣跟向量的觀點解答出來～