【問題】數學歸納法

[hank930502 10]

1.設n為正整數,證明3^(2n+1)+40n+61為64的倍數

2.有一數列{An}定義為A1=1,且An+1=3An+2/An+2,試用數學歸納法證明:An<2,對所有的正整數n都成立

[黃昏Dacapo 10]

目前只想到第二題。

A1=1

A2=5/3<2(成立)

設A(n+1)=(3A(n)+2)/(A(n)+2)<2 成立

則A(n+2)=[3A(n+1)+2]/[A(n+1)+2]

=[(A(n+1)+2+2A(n+1)]/[A(n+1)+2]

=1+[2A(n+1)]/[A(n+1)+2]

因為A(n+1)<2

所以A(n+1)+A(n+1)<2+A(n+1)

所以[2A(n+1)]/[A(n+1)+2]<1

所以1+[2A(n+1)]/[A(n+1)+2]<2

由數學歸納法原理得知 for n 屬於N 原式恆成立(符號不會打xd 屬於可以用歐元€取代嗎:P V ←V中間加一劃可以當for嗎:p)

再來交給下面吧:p

[ynotony 10]

那第一題我來好了！

1.當n=1時 => 3^(2*1+1)+40*1+61=27+40+61=128=64*2 (成立)

2.設n=k時成立=> 即設3^(2*k+1)+40*k+61為64的倍數成立

3.當n=k+1時 => 3^[2*(k+1)+1]+40*(k+1)+61

　　　　　　　=9*3^(2*k+1)+40*(k+1)+61

　　　　　　　=9*[3^(2*k+1)+40*k+61]-9(40*k+61)+40*(k+1)+61　扣除式中多餘的

　　　　　　　=9*[3^(2*k+1)+40*k+61]-360*k-549+40k+40+61

　　　　　　　=9*[3^(2*k+1)+40*k+61]-320*k-448

　　　　　　　=9*(第二步驟的假設)-64(5*k+7)

　　　　　　　=64的倍數

由數學歸納法得知：對於所有正整數n，3^(2n+1)+40n+61恆為64的倍數。

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對不起，我不知道你比我早4分鐘解決它，有點抱歉！

[§~小彥~§ 10]

呵呵~

大家搶著答阿~