【討論】數學本身

[磁單極 10]

是自然科學嗎

我覺得不是耶

因為他本身就是個人造的東西

[九天驚虹 10]

不是

[§~小彥~§ 10]

定理是自然而然的呀!!

或許還有很多定理等著我們發現~

至於人造的~

是那些定義吧!

就算是人造的~

我還是覺得那算是自然科學耶!

至少他是理工的= =

[九天驚虹 10]

定理是自然而然的呀!!

或許還有很多定理等著我們發現~

至於人造的~

是那些定義吧!

就算是人造的~

我還是覺得那算是自然科學耶!

至少他是理工的= =

數學需要觀察自然現象? 數學可以用自然現象證明?反證?

數學不是屬於自然科學

但對自然科學來講 數學非常重要

[Zeta 10]

我是覺得真正的數學不是人類首創，它是一種自然規律，只是以前沒有符號來代表它，說明它

人類把自然規律用文字來說明，並且清楚的定義它的涵義與範圍，所發展出來的學科稱為《數學》

數學：『一個以文字極盡所能去描述，去擬合自然現象的文字學』，此文字學也是在解釋道理，解釋宇宙運行的基本道理

所以說它是哲學也可以，與《易經》是一體兩面的，只是易經少有把它符號化，《數學》則是使用符號語言的知識

《數學》的發展只是人類試圖把自然現象用文字來表達，並解釋它；說穿了，就是要把『自然的法則模式化』

[jacafe 10]

我覺得數學是一種被符號化的哲學

將無形化為有形的一種工具

因為我們想知道在生活上所發生的事，例：

想知道一塊土地的大小→所以發展出面積

(我想這是幾何數學的起源)(由埃及發展)

後來有函數、向量、微分、積分...

幾何就漸漸的發展出代數

再發展成一套"數學系統"

[wuhoward 10]

自然中很多的東西都可以用數學去解是啊

想宇宙中的許多行星都事先被算出來得

之後才由後人實際觀測到

[Zeta 10]

換句話說，《數學》本身可以視為真理，萬物運行的真理 ( 屏除人性或其他方面的話 )，然而現在的數學只是特例，不是真理

以力學來說，牛頓力學以往被視為常模，但是後來被更廣義的理論推翻了，證明了牛頓力學不過是理論中的特例而已

只能解釋狹隘範圍內的事物，無法推廣。現在的應用數學多半是在處理特殊情況的問題

說難聽一點，它也只能處理特殊情況，很多問題根本就是還不能解，或是無法解釋

這就說明了現在的數學也還不是真理，只是滄海一粟中的學問

以上是個人的淺見，參考即可

[逼勾 10]

數學是邏輯

列出來的邏輯即是數學

[Zeta 10]

提供一個我覺得不錯的觀念分享檔案，但我不知道是誰寫的，已經放在我的電腦裡很久了==

［數學的本質］

「什麼是數學？」這不是三言兩語就可以回答的問題。「數學是研究數與形的科學！」或「數學是計量的科學！」或是「數學是研究結構的科學！」…等等，這些說法都很有道理，但好像少了什麼？不是很令人滿意，而恩斯特［Ernest,1992）指出數學哲學應當對數學的性質作出說明（引自鄭毓信、李國偉，1999），所以想要清楚到底什麼是數學？想對數學的本質做深入的理解，就必須去探究數學的哲學觀之論述。

而從古希臘時代起，數學哲學的論點，即有「柏拉圖主義：數學家提出的概念不是創造，而是客觀存在的描述」，和「唯名論：數學不存在於客觀世界，只存在紙上、黑板上，或思考它的人的頭腦中」及「先驗論：認為世界先已存在，經由數學被理解，數學是客觀的知識，是真理」和「經驗論：數學是人類文化的產物，知識是依經驗創造出來的」等對立的觀點。直到十九世紀中期開始，數學則進入以數學基礎研究為中心的不同時期，為的是建立一個可靠的基礎，從而藉由可靠的方法去開展（重建）數學（鄭毓信，1994）。然而透過對於數學基礎研究的反思，我們發現雖然數學歷經三次重大的危機，但每一次所引發的悖論卻是促進數學的發展與精淬，擴大了數學的包容性，因此數學的基礎危機是不存在的。黃永和（1998）透過科學典範轉移的觀點來審視數學的哲學，認為在二十世紀六、七○年代興起一股哥白尼式的革命，「將原本視為絕對客觀無誤與靜態的數學知識本質，推向可誤的與動態變化的層面」。徐利治、鄭毓信（1994）也認為數學不應簡單的等同於數學知識的匯集，而應視為人類的一種創造性活動，而在內容及方法上也由一般科學哲學中吸取了不少的問題與思想。以下就根據絕對論與可誤論的哲學觀點加以闡釋。

一、絕對論（absolutism）

長久以來，人們認為數學命題是無可懷疑的絕對真理，各種學派不論其在哲學立場上的不同，在數學上的論述都隱含著先驗論的思想，認為世界先已存在，經由數學被理解，所以數學是客觀的知識，是真理。尤其是笛卡兒（Descartes, R.）倡言的理性思考，更影響了數學結構的嚴密。然而在十九世紀中期開始的數學基礎研究，為了解決數學本身所存在的矛盾與悖論，進行數學哲學的辯證，企圖建立一個公理化、永恆、絕對可靠的數學基礎。其主要有三大學派，分述如下：

（一）邏輯主義（Logicism）

主要代表人物為羅素（Russell, B.）、弗雷格（Frege, G.）與懷海德（Whitehead,A. N.），其主張有二：一是所有的數學概念最終都能化約成邏輯概念；二是所有的數學真理皆可透過邏輯推論的規則與公理獲得證明（Ernest, 1991）。羅素與弗雷格都是柏拉圖主義的支持者，認為自然數是客觀存在，人要認識這種存在，不需引進特別的假定，也不需康德（Kant, I.）的先天直覺，只要從一般的邏輯出發即可（張景中，1996）。邏輯可建立數學，這就表示數學對象是客觀存在的。懷海德這位過程哲學的首議哲學家更是直指邏輯思想是數學的核心概念，可做為哲學思維的基礎［Whitehead, 1929）。

（二）直覺主義（intuitionism）

此學派的代表人物是布勞維爾（Brouwer, L. E. J.）。布氏認為基本的直覺是按時間順出現的感覺（林炎全，1983），生命的各種要素分解成本質上不同的部分，只有當這些部分被時間所分隔時才能重新聯繫起來，而過程中情感的內容抽象出來，進入數學思維的根本，即純粹的二分性，也就是數學的原始直覺（Brouwer,1913）。所以，本派的數學是建立在有限的直覺所引發的步驟之上，這對數學本身而言是一種回溯到原點的作法，而最終的目的在於重新建立一種新的數學體系。換句話說，直覺主義直接否定了柏拉圖主義的觀點，重新建構數學的本質，所以也被稱為「構造主義」。

（三）形式主義（Formalism）

1900 年，希爾伯特在法國巴黎召開的國際數學家大會（International Congress of Mathematicians, ICM）上發表了著名的 23 個數學問題，昭示著希氏將所有的數學符號語言予以統一的企圖心，其目的在於將概念變成符號，命題變成公式，推理形成形式規則，把所有的數學抽象成形式化的公理系統，再針對公理系統進行研究，統整出構成公理系統根本的元數學（meta-mathematics），以便釐清數學的各個分支的矛盾，使數學整合成一嚴謹而精確的學科（Gray, 2000）。由此不難看出，形式主義將數學變為抽象推理與符號運作，不再將符號穿鑿附會為實體之理想化（林炎全，1983）。

綜上所述，三派各有其立論的基礎，並有著極度的相異之處，但進入二十世紀中葉以來，三派之間的爭論漸漸平息了。數學家們發現不論哪一派的主張，都不可能一勞永逸的解決數學基礎的問題。豐富的數學內容無法簡單的歸結為邏輯，也不能僅視為人直覺的創造物，它的正確性更不可能用符號的推演來最終證明（張景中，1996）。而重要的是這三派在於各自的數學公理化爭論點上是可以互補不足之處的，恰如哥德爾從事數學研究時，他的數學哲學是直觀主義，邏輯方法是形式主義，而知識工具則是邏輯主義（Casti & DePauli, 2001）。況且將爭論點置於數學的基礎上，完全變為不須考慮人及社會層面的因素（Ernest, 1994），數學的對象就獨立於現實世界之外的「數學世界」之中。

二、易誤論（fallibilism）

基本上，數學都會設定一些公理來協助演繹其命題，如果這些公理是真的，那麼透過證明的命題亦是真的，歐氏即是以此種方式來推論、證明其幾何上的真理。張景中（1996）認為所謂的「真理」，其實就只是指邏輯上不相互矛盾而已。拉卡托斯（Lakatos, 1978）由波普（Popper, K. R.）的否證論進一步推論依賴某一假定並設法證明其真理性時，將導致無窮的迴歸（regression），哥德爾也經由涂林機（Turing machine）的邏輯推論證明有些確定為真的命題是無法證明的。因此，數學哲學由絕對論轉向易誤論，認定數學命題也有其限制，也可能是錯誤的。以下我們來探討不認定數學是先驗知識的兩種理論：一是拉卡托斯的擬經驗論（quasi-empiricism）；另一是建構論（constructivism）。

（一）擬經驗論

拉卡托斯認為數學既不是理性的，也不是經驗的，而是「擬經驗」的理論。所謂的「擬經驗」的理論本身只是一種說明或解釋，但卻不能用經驗的事實來加以驗證。數學在本質上是具有演繹結構的公理化系統，數學公理只是一種約定或猜想，本身不具有真值。建構「擬經驗理論」的基本原則是針對問題，尋找具高度解釋力和啟發力的假說，然後再用最嚴格的方式加以檢驗，視為能否予以反駁（黃光國，2001）。這樣的「擬經驗理論」反映出數學的理論本質上是可誤的、後驗的且是可修正的、具有創造的潛能的。此外，拉卡托斯也重視數學史，因為數學史包涵數學哲學的演變過程，從而能發展具實際使用的數學理論，說服數學社群能接受該理論。

（二）建構論

建構論指稱人類知識的形成是個人主動建構，不是被動的接受或吸收（Osborne & Wittrock, 1983），而在主動建構的過程中，學習者必是主動的對於知識及經驗做意義的詮釋。 王文科（2003）指出建構主義可由五個方面來探討：

1.起點行為（entering behavior）的重要：

學習者運用現有的知識、興趣、態度、目標等來選擇、詮釋當前取得的資訊，即是立基於先前的知能水平上，擴充其知能的廣度及深度。

2.由上而下的處理（top-down processing）：

學習者面對有待解決的問題及任務，透過教學者的輔導，發現解決問題及執行任務所需的知能。

3.知識本質無法由一個人遷移給另一個人：

知識在傳遞及轉譯的過程中易受文化、個人特質等的影響產生變化，無法全然無誤的移轉給另一人。

4.真理總是存在：

學習者透過學習的過程所獲得知能，在結論上不論是否一致，總認為真理存於自己的心中。

5.討論和辯論為協助個人建立自己觀點之鑰：

學習者形成及改變理論或研究的觀點，係來自有系統的、開放的與同僚討論及辯論而得。

在數學的教學上，恩斯特（1991，1994）綜合擬經驗論、約定論與極端建構論的觀點而提出了「社會建構論」。其模式為：個體所創造的主觀性知識透過社會歷程而被社會大眾所接受，即變成客觀性知識；客觀性知識經過個體的內化與重新建構後，又形成一新的個體主觀性知識，成為下一階段客觀性知識的基礎，如此周而復始的不斷循環，產生新的數學知識。這也意謂數學與其他的科學相互結合，交融出新的意義與擴大數學的應用層面。 鄭毓信、李國偉（1999）總結數學哲學的轉變，有四點分析：

1.研究立場的轉移，就是由與實際數學活動嚴重分離轉移到密切結合。

2.對於數學史的高度重視。

3.研究問題的轉移。

4.動態的、經驗的和擬經驗的數學觀取代了靜態的、絕對主義的數學觀。

換句話說，我們必須重新去看待數學這一學科本質與內涵，是人類文化的有機組合，能夠促進人類文化發展與文明進步，傳遞人類的智慧（李善良、單墫，2002）。 李國偉（1978）認為數學的概念不是人與生俱有，也不是憑空捏造而來的，是經由漫長歲月的整理客觀世界活動的而來，數學最終所研究的對象即是客觀的世界。早在古希臘時代，畢達哥拉斯［Pythagoras）及其門徒即視萬物皆由數所轉化而來，以數的概念來了解世界，進而影響歐基里德完成（Euclid）幾何原本（The Elements）。在幾何原本一書中設立了一些定義，一般我們稱為「公理（axiom）」來規範、證明及求得真理，將數學變為一門系統性的學問。可見數學所探究的對象是人類文化活動的現象，從而達成問題解決的目的（黃敏晃，2003），正如施皓耀（2003）所指出：「數學是一連串以數字系統為基礎，用以呈現、描述與詮釋實際事物的變化關係」（引自廖素卿，2003）。

數學是模式的科學（鄭毓信、李國偉，1999），不論是問題或是結果必要藉助一定的語言才能表述出來。數學語言包含概念與符號兩種要素（鄭毓信、李國偉，1999）。概念體系所指的是公理與定理、原始概念與衍生概念的連續性與內在聯繫；符號語言是數學表述的重要元素，透過符號語言把人類文化的活動現象展現出來，其特點有：

1.簡單性與嚴密性，2.可操作性，3.普遍性與徹底性（鄭毓信、李國偉，1999）

除了語言，數學另一重要的操作模式即為邏輯，懷海德（Whitehead, 1929）認為邏輯有歸納法與演繹法兩種。數學在公理設定的基礎上，較為偏重的是演繹的法則，新的公理及理論的發現必由先前的研究成果而來，好比爬樓梯般的循序漸進，因而造成數學本身結構的強韌性。所以，數學是對抽象的東西做具體的研究（張景中，1996），經由演繹法則而推理出新的理論，而透過符號語言表述出來的一種科學。