【問題】方程式有有理根

[hank930502 10]

若方程式x^2+ax-a+1=0,a屬於N兩根均為整數,則a=?

[00 10]

公式解x=(-a+(a^2+4a-4)^0.5)/2或x=(-a-(a^2+4a-4)^0.5)/2

如果x要是整數，那a^2+4a-4必須是完全平方數。令b^2=a^2+4a-4，因a是正整數，從式子得知b不等於0，故可假設b也是正整數（b的負整數解不重要，我們只要找a，b的值加一個負號並不影響a），式子改寫成

(a+b+2)(a-b+2)=8

a+b+2>a-b+2而且兩括號內都是正整數

只有可能

a+b+2=8

a-b+2=1

得a=5/2不合

a+b+2=4

a-b+2=2

得a=1，帶回檢驗得x=0或-1符合題目條件，故a=1。