【分享】一題不等式

[chpohoa1 10]

n屬於自然數

試證明(2n+1)^n ≥ (2n)^n + (2n-1)^n

[00 10]

左=(2n)^n+C(n,1)(2n)^n-1+......+C(n,n)

右=(2n)^n+[(2n)^n-C(n,1)(2n)^n-1+......+(-1)^nC(n,n)]

左減右紅字部分消掉，剩下那一串顯然大於0。

[chpohoa1 10]

恩阿

看的見的人一下就解決

看不見的人還用數學歸納法慢慢搞...

[00 10]

這不是大黃的題目嗎？這題好像是裡面不等式少數好算的:P。

[chpohoa1 10]

原來你也知道大黃=ˇ=

我記得第不等式第29題很難搞(沒改版的話..)

要不要交流一下=ˇ=

[00 10]

29題我想破頭也想不出來，現在有改版，不過我手上這本應該和你的是同一本。

[00 10]

今年校內決賽

a,b,c是正實數，a+b+c=1，證明

a(1+b-c)^1/3+b(1+c-a)^1/3+c(1+a-b)^1/3不大於1

[rm2slg 10]

今年校內決賽

a,b,c是正實數，a+b+c=1，證明

a(1+b-c)^1/3+b(1+c-a)^1/3+c(1+a-b)^1/3不大於1

1=[a(2+1+b-c)+b(2+1+c-a)+c(2+1+a-b)]/3≧a(1+b-c)^(1/3)+b(1+c-a)^(1/3)+c(1+a-b)^(1/3)

得證（不知道有沒有證錯）

話說回來

不等式真的很難= =

[chpohoa1 10]

a(1+b-c)^1/3 ≤ a * [1+1+(1+b-c)]/3

三個輪換完全部加起來就答案了

昨天晚上被抓去打牌=.=

沒看你的回覆抱歉= ="

29題是

a1,a2,a3.....an∈R

a1/[1+(a1^2)] + a2/[1+(a1^2)+(a2^2)] + ..... an/[1+(a1^2)+(a2^2)..+(an^2)] ≤ √n

嗎@@?

[00 10]

是的。

[keith_291 10]

今年校內決賽

a,b,c是正實數，a+b+c=1，證明

a(1+b-c)^1/3+b(1+c-a)^1/3+c(1+a-b)^1/3不大於1

那題我直接用Jensen不等式

因為f(x)=x^(1/3) 在x為0到2之間為下凹(2次微分得知)

[ a(1+b-c)^(1/3)+b(1+c-a)^(1/3)+c(1+a-b)^(1/3) ] /a+b+c小於或等於

{[a(1+b-c)+b(1+c-a)+c(1+a-b)]/a+b+c}^(1/3)=1

又a+b+c=1

故原命題得證

這樣也可以吧?!

[00 10]

那題我直接用Jensen不等式

因為f(x)=x^(1/3) 在x為0到2之間為下凹(2次微分得知)

[ a(1+b-c)^(1/3)+b(1+c-a)^(1/3)+c(1+a-b)^(1/3) ] /a+b+c小於或等於

{[a(1+b-c)+b(1+c-a)+c(1+a-b)]/a+b+c}^(1/3)=1

又a+b+c=1

故原命題得證

這樣也可以吧?!

當然可以，我考試時也是用這種方法，不過顯然沒有算幾不等式來的簡潔。