【數學】想澄清一下「邏輯」的觀念。

[ehero 10]

大家好，我是小高一，

第一次來這邊發問，請大家多多指教^^"

最近買了一本有關於數學的參考書，

對上面的解答感到百思不得其解，

希望眾高手能替小弟解答，多謝^^"

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Q：試判斷命題(proposition)「若x不等於2，則x+3=5」的真假。

(忘了註明：本文所提及之「若p則q」皆為條件句(conditional)而非推演(deduction)

我的想法：

令敘述(statement)「x不等於2」為"p"，「x+3=5」為"q"

則原命題可寫為"若p則q"。

由於敘述p以及敘述q都是開放句(open sentence)，

因此敘述p以及敘述q的真假值會因為變元(variable)「x」的值而改變其真假值。

也因此我們可以假設下面兩情形：

1. 若「x不等於2」為真，則「x+3=5」為假 (此時x是任一不等於2的實數)，

根據真值表判斷我們可得--------------> 原命題為假。

2. 若「x不等於2」為假，則「x+3=5」為真，

因為「x不等於2」為假，故其否定「x等於2」即為真，

根據真值表判斷我們可得--------------> 原命題為真。

這下子問題來了.............情形(1)與情形(2)矛盾:P

書本的解法：

若命題「若p則q」中的p與q皆為開放句時，

除非可以找到一個變元使得敘述p為真，而敘述q為假，則其命題始為假，

否則命題恆真。

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而我最困擾的地方也在於此.........

為什麼非得使敘述p為真，

而不能使敘述p為假呢？

雖然說用常理判斷可以得到此結論，但是我還是很想知道原因，

懇請各路好手幫幫我這小高一的困擾吧........感激不盡^^"

P.S. 用人類的「常理」來判斷「敘述p與q為開放句時之條件句"若p則q" 之真假」的話，

1. 今天有一個條件句其值是假的(即最後被論證出來為假命題)，

只要我們假設敘述p為真的話，

那麼就會得到命題為真的矛盾情形。

2. 也因此我也有想到說，在探討命題「若p則q」諸如此類條件句的真假值時，

如果p和q都是開放句的話，「假設敘述p為假」是沒有意義的，

因為假設敘述p是假的話.........意即這個條件句根本不會發生，

那麼要「探討這個條件句的真假值」也是沒有意義的一件事情。

(其實我覺得真值表只是為了演算的方便而誕生的產物)

3. 所以我的結論是：

如果題目要我們判明命題「若p則q」的真假時，

除非可以用常識或者是數學知識來判別p或q的真假，

進而依據真值表去推論原命題之真假的時候，

我們都不能假設p為假。

只能假設p為真，進而去判斷q之真假，

最後再判斷原命題之真假。

如果真是這樣，又原因為何？(百思不得其解)

(以上是小弟愚見，如有錯誤，還請各方好手不吝指教........謝謝^^")

[留香~ 10]

x也可以等於-8呀......所以這個題目為真

至於證明方法就不太了解了......

[chpohoa1 10]

除非可以找到一個變元使得敘述p為真，而敘述q為假，則其命題始為假，

否則命題恆真。

這句話正是真值表的含意阿

我解釋一下真值表 若P則Q

當P是對的，Q是對的，合理

當P是對的，Q是錯的，不合理，由正確的前提跟正確過程不應該推出錯誤的東西

當P是錯的，Q是對的，合理，(因為人類常常會賽到XD)由錯誤的前提有可能推出正確的結果

當P是錯的，Q是錯的，合理，由錯誤的前提當然會導致錯誤的結果

因此如果你完全找不到一個變元使敘述P為真，Q為假，則這個命題對你的觀察點來說，他

是正確的，因為從你的基礎資料中無法判定他是假的，因此只能當真的(在邏輯上沒有非真亦

非假，要嘛真，要嘛假，因此你不能斷定他是假的時候，只能說其為真)

也就是在你已知道的變元內，這個命題都是真的

舉例來說 : 若x^2+1=0，則x無解

當我們的知識基礎還沒到複數的時候，這個命題顯然恆真，

當我們的知識基礎到複數的時候，此命題顯然恆假

還有變元的意思指的不是只有x，而是一種情況，或者所謂的反例

像 若三角形有一角是銳角，則他是銳角三角形

想否定這個命題只要找到一個三角形有一角是銳角，但他不是銳角三角形即可

[ehero 10]

恩...好像有點懂了，感謝大大的回答。

不過我還是有一個疑問.........

除非可以找到一個變元使得p為真，q為假，則命題始為假，

否則命題恆真。

這句話即為在敘述為開放句之條件句的真假判斷準則。

因為如果敘述p、q僅為一敘述而不為開放句時，

即可以「常理」判斷p、q之真假，

進而推理命題之真假，

而不需要「找尋」變元。

可是這句話不就會跟我之前的做法有所出入，

顯然我的做法是錯誤的，

但到底錯誤在哪呢？

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Q：試判斷命題(proposition)「若x不等於2，則x+3=5」的真假。

我的做法：

1. 若「x不等於2」為真，則「x+3=5」為假 (此時x是任一不等於2的實數)，

根據真值表判斷我們可得--------------> 原命題為假。

2. 若「x不等於2」為假，則「x+3=5」為真，

因為「x不等於2」為假，故其否定「x等於2」即為真，

根據真值表判斷我們可得--------------> 原命題為真。

這下子問題來了.............情形(1)與情形(2)矛盾:P

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我的想法：

既然「x不等於2」是一個開放句，

從我們已知的變元概念中(x屬於R)中，

存在著兩種變元，

一種可以使得敘述「x不等於2」為真，

另一種可以使得敘述「x不等於2」為假(其實只有當x=2時)。

那麼既然是要判斷「若p則q」的真假時，

不就要把兩種情形都考慮進去嗎？

為什麼可以不理會使「敘述p為假」的x，

只需要理會能使「敘述p為真」的x？

「除非可以找到一個變元使得p為真，q為假，則命題始為假，

否則命題恆真。」

不是就等價於：

「假設p為假時，無論q之真假，皆可推得命題為真，

但假設p為真時，如果可以推得q為假，進而推得命題為假，

此時就不考慮p為假時的情形。」

為什麼可以不考慮呢？

[ehero 10]

再來看一題吧@@"

試判斷「若a>b，則a平方>b平方」之真假

當時我是國中生時，一看到這種題目時，

都會義無反顧的認為a>b是恆真的。

但學到邏輯之後，

加入了一些真值表、變元.......等觀念，

反而讓我混淆不清了Orz

"a>b" 可能是真，可能是假，

為什麼我們做題目時，都一定要先假設「a>b」是真的呢？

是因為「當我們假設a>b是假的時候，無論q如何，命題皆為真。」

這樣的結果會導致我們只要假設所有的條件句之p為假，

那所有條件句皆會是真的關係嗎................(這樣就不需要判斷了啊XD)

我之前的發文可能太過於冗長，

不過這就是我想要了解的重點啦.......

希望還有更多高手可以幫我的忙，感激不盡^^"

[chpohoa1 10]

因為 條件語句有兩種，一種可分真假，一種無謂真假

舉例來說1.如果豬是綠色植物，則他會行光合作用，(豬是植物)顯然為假

但2.如果有人有一千萬元，則他買得起法拉利，(有人有一千萬元)顯然不涉真偽，只是一個前提條件

真值表處理的是 有確切真假值的語句(順便再舉幾個自然語句來解釋真值表好了)

若P真則Q真，則此命題為真

若P真則Q假，則此命題為假，(顯然是對的，這兩個就不舉例了)

若P假則Q假，則此命題為真(若我能飛，則我能跟鳥類一同翱翔)

若P假則Q真，則此命題為真(若我能飛，則我不是正常人)

最後兩句話顯然符合前面的語句也很合理(不乘坐飛行器的情況下..)

因此當我們在做所謂的數學證明時，他給的是一個前提，一個條件或集合限制

而沒有真假性(所以不必去假設他真，再假設他假之類云云)

當然某些相似的數學語句在描述上的不同也就有真假性了

像:1.若x^2+1=0，則x^2+2=3，(x^2+1=0是一種條件，無關真假性)

2.在實數範圍內，若x^2+1=0，則...(此時x^2+1=0顯然為假，因為在實數範圍內，於是

不管後面的敘述是什麼，這個命題都不能說他是錯的，只能說他是對的)

又或者像:在歐式幾何中，若某幾何圖形是三角形，則此幾何圖形內角和是100度

某幾何圖形是三角形也無關乎真假，這樣說不知道能否接受@@

[ehero 10]

首先感謝chpohoa1大大能夠回答我這小高一

一個好似神經病發問的問題.........(這種邏輯判斷國中生也會吧= ="")

可是我就是覺得：數學是一門講究嚴謹推論的學問，

任何一點疑問都必須追根究底的搞懂。

(回歸正題)

其實我這本參考書解釋"若p則q"的真假是用以下的例子啦..

「若 明天吹颱風(p)，則 學校就停課(q)。」

我覺得用這個例子去套用真值表，答案都十分合理。

其實我覺得.......

像「判斷"若a>b，則a平方>b平方"的真假」

或者是「判斷"若x^2+1=0 ，則x^2+2=1"的真假」等問題，

可以把「若p則q」看成是一種「推演(deduction)」，

而討論此命題之真假亦即討論此推演成不成立。

(不知道這樣想對不對....)

只有這樣解釋比較合理啊~~~~~~~~~

好吧......

如果是判斷「事件」的真假值時，就用條件句；

如果是判斷「數學命題」的真假值時，

就把他想成此推演成不成立吧.....................Orz

因為推演成立時是一個「恆真式」，

而推演不成立時表示「p為真且q為假」。

怎麼覺得愈扯愈複雜呢？還是說有時候不要了解那麼多比較好...

總之各位大大如果還有其他意見，歡迎一起討論^^"

[chpohoa1 10]

若 明天吹颱風(p)，則 學校就停課(q)

其實這句子不能套用真值表

因為明天吹颱風這句話，無關真假，或者說當下你無法判定他的真假，要等明天才知道(有點

變哲學了= =)

還有條件句有兩種，一種是有真假值的條件句，一種沒有(這我前面講過了)

數學上的證明命題採用的是不具真假值的條件句

當然如果硬要套到真值表上也可以

那就是賦予條件句真值，

否則如果條件句是假的話，那麼這個命題在數學上完全沒有意義(在邏輯裡這個命題是對

的，注意喔，是在邏輯學裡，我想這是你覺得有問題的所在)，

因為從錯誤的前提推演出來的東西無法確定是正確還錯誤的，所以當然是白忙一場，

沒有意義