【問題】實數指數?

[gamebase371371 10]

剛剛複習一下的內容 發現一個東西怪怪的= ='

1≠a>0 若a^r = a^s 則 r = s

我知道如果a=-1的話 是會來回跳所以 r不一定等於s

但是如果是其他負數呢?

例如 a=-2 -2^r = -2^s r應該也等於s吧???

請問在負數的時候除了-1之外也有不能確定r s 相等的情況嗎???

有點搞不清楚為何要大於零 而不是寫≠-1

[孤城 10]

剛剛複習一下的內容 發現一個東西怪怪的= ='

1≠a>0 若a^r = a^s 則 r = s

我知道如果a=-1的話 是會來回跳所以 r不一定等於s

但是如果是其他負數呢?

例如 a=-2 -2^r = -2^s r應該也等於s吧???

請問在負數的時候除了-1之外也有不能確定r s 相等的情況嗎???

有點搞不清楚為何要大於零 而不是寫≠-1

用r=1/2 a=-2帶看看吧;-)

[fishenos 10]

只要是負數

乘起來會一正一負一直跳

[gamebase371371 10]

用r=1/2 a=-2帶看看吧;-)

根號2i ???

還是說在這邊出來的直不能是虛數???

[孤城 10]

根號2i ???

還是說在這邊出來的直不能是虛數???

阿災

看當初的定義域吧

我只是根據值域回推而已xd

[410920 10]

若a<0，則a^(1/3)不等於a^(2/6)，但1/3=2/6 ex：a=-1/8 代入即可之矛盾

所以矛盾，所以a通常設定>0，才不會出現類似的煩惱!!!

[九天驚虹 10]

我做一個扼要的說明

對於指數

最初最初 自然是從指數是自然數的情況開始

於是我們定義：a^n (n是自然數) 為a自乘n次。此時的a可以是任意實數(都有意義)。

其中，a稱作底數，n稱為指數。

由於這樣的定義，指數式在做某一些運算時，會有特殊的規律，那就是指數律了。

(1) a^m * a^n = a^(m+n)

(2) (a^m)^n= a^mn

(3) (ab)^n = a^n*b^n

PS. 上面的m,n都是自然數

接著

我們要做的 便是將指數擴充到 整數、有理數、實數上。

由於指數律是一個非常有用的規律

所以當我們將指數推廣到更大的數系時 仍然希望指數律成立

為了這樣的擴充 底數必須做恰當的限制 使得指數式有意義

第一步 就從零指數開始好了 假設 a^0 存在 那麼它也必須要遵守指數律

a^m * a^n = a^(m+n) n是自然數

=> a^0*a^n = a^(0+n) = a^n

如果 a^n 不等於0 兩邊消掉 就得到 a^0 = 1

而 a^n 不等於0 的意思就是說 a不等於0

於是我們就可以定義了 當a異於零時 定義a^0 =1

這也是上面提到的 將底數做了些限制 在指數為0時 底數不能為0 否則沒有意義/定義的

怎麼推廣到負整數上面呢? 一樣的道理 假設 a^-n 存在 (n是自然數)

此時 a^m * a^n = a^(m+n) 指數律會成立

a^-n*a^n=a^(-n+n)=a^0=1

=> a^-n = 1/a^n

因此就可以定義了 當底數異於零時 a^-n = 1/a^n

接著的推廣就不推導了

在將指數推廣到有理數時 底數必須要做的限制就是大於零

推廣到無理數時 利用極限的概念 此時就知道 底數的限制仍然是大於零

於是我們就有可以有指數是實數的指數式存在 而此時的限制便是底數要大於0!

[九天驚虹 10]

至於為什麼在指數為實數的情況下 會多一個不等於1的限制

那又是牽扯到指數函數的關係了

另外

指數更驚人的是 可以擴充到複數系上(不過這算大學的程度了)

[gamebase371371 10]

大致瞭解了

謝謝