【數學】向量的問題

[yijen321 10]

1.已知一單位向量在直線 2x+y=0 的直線上的正射影為( -1/5 ,2/5 ) ,求此單位向量.

答: ( 3/5 , 4/5 )或( -1,0 )

2.設 x , y 屬於R, x平方+y平方=9,當( x, y )=_____時, 2x-3y 有最小值___?

答: 6 / 負根號13, 根號13 /9

最小值為 -3根號13

[九天驚虹 10]

最初由 yijen321 發表

1.以知一單位向量在直線 2x+y=0 的直線上的正射為影( -1/5 ,2/5 ) ,求此單位向量.

答: ( 3/5 , 4/5 )或( -1,0 )

2.設 x , y , z 屬於R, x平方+y平方=9,當( x, y )=_____時, 2x-3y 有最小值___?

答: 6 .............(論壇訊息:引文過長 恕刪)

抱怨一下，我覺得你的題目沒打好喔。= ="

像第一題，我就會看的霧煞煞。雖然可能是個人的問題啦。orz

不過想第二題的題目，開頭的 x , y , z ，那個z好像就沒多大的功用。= =|||||||

不過大致上，第二題還看的懂。

2.平方求一次項，八成是柯西不等式，代個公式答案就出來啦。所以去翻翻有關柯西不等式的題目吧！這題還蠻典型的。

但是，我喜歡幾何的解法。xd

首先x^2+y^2=9 是個圓心在原點，半徑為3的圓。

令2x-3y =k 表示一條直線，這條直線會是不斷變動的。

那麼極值就會發生在相切的時候。

所以圓心到直線的距離等於半徑，以式子表示為

| 2(0)+3(0)-k | / [2^2+(-3)^2]^0.5 = 3

得到 |k|=3(13)^0.5 , k = 3(13)^0.5 最大值 或 -3(13)^0.5 最小值

既然直線都知道了，那就是圓與直線解聯立。

就會求得 x=-6 / (13)^0.5 y= (13/9)^0.5

這邊如果會微分的話，那麼求點會有更快的方法。

做完一道題目，總要有些心得吧！在這邊就可以發現，

如果單純要問極值，幾何的解法會比較快，但如果要求出點，

那麼我會建議你使用柯西不等式，畢竟它可以一勞永逸。

[mapleaf 11]

第一題

設單位向量為(a,b),則a^2+b^2=1............(1)

設(a,b) 與( -1/5 ,2/5 ) 的夾角為 θ ,則 cosθ=(1/25+4/25)^0.5=根號(1/5)

利用內積公式 (a,b) dot ( -1/5 ,2/5 )=1*(1/25+4/25)^0.5*cosθ

-1/5a+2/5b=1/5, 也就是 -a+2b=1.........(2)

聯立(1)(2) ( 2b-1)^2+b^2=1

b(5b-4)=0 得 b=4/5 or 0

若 b=0 則 a=1 若 b=4/5 則 a=3/5

[mapleaf 11]

第二題(最快的方法)柯西不等式

[x^2+y^2][2^2+(-3)^2]≧[2x-3y]^2

(9 ) (13) ≧ [2x-3y]^2

最小值為 -3根號13 最大值為 3根號13

第二題(殺雞用牛刀方法)Lagrange Multiplier (拉格蘭吉乘子法)

有同學有興趣這方法嗎?這方法要用偏微分

[九天驚虹 10]

最初由 mapleaf 發表

第二題:(最快的方法)柯西不等式

[x^2+y^2][2^2+(-3)^2]≧[2x-3y]^2

(9 ) (13) ≧ [2x-3y]^2

最小值為 -3根號13 最大值為 3根號13

第二題:(殺雞用牛刀方法)Lagrange Multiplier (.............(論壇訊息:引文過長 恕刪)

當然有xd

記得上次去問老師，什麼是偏微分。

他說，現在敎這個，這個太離譜啦。

關於會問這個的原因可以交待一下。

當初無意間遇到郝強的學生，他就跟我講，用偏微分解題，秒殺，看到斜率就用偏微分。我看到的題目是應用在弦中點的題目。

所以我的數學老師說的現在教這個太離譜即源於此，就連我也覺得太離譜，畢竟他們學了只會套用，並不知道為什麼可以這樣用。然而，以我們目前所學的，是不可能到達秒殺的地步。

他們先學這個實在令人既羨慕又忌妒。= =|||||||

不過這類的題目，隱微分也可以派上用場，速度也不輸隱微分。所以我也沒繼續要求老師教我偏微分了。

[小暐 10]

最初由 mapleaf 發表

第二題:(最快的方法)柯西不等式

[x^2+y^2][2^2+(-3)^2]≧[2x-3y]^2

(9 ) (13) ≧ [2x-3y]^2

最小值為 -3根號13 最大值為 3根號13

第二題:(殺雞用牛刀方法)Lagrange Multiplier (.............(論壇訊息:引文過長 恕刪)

偏微分

先微X再微Y的那種嗎>_<"

[mapleaf 11]

其實不要將偏微分過度神話,偏微分是在多變數函數時才會出現的,

例如雙變數函數z=f(x,y)它的幾何意義是空間中的曲面(單變數為曲線),而偏微分是固定

其中一個變數(視其中一個變數為常數),偏微分的結果仍然是斜率.計算很簡單,例如

f(x,y)=x^2+3y^3+4x^2*y+5x-6y=8 則

Partial(f)/Partial(x)=2x+8xy+5

Partial(f)/Partial(y)=9y^2+4x^2-6

詳細解釋等我會傳圖片時再做說明,用文字說明很難解釋

[mapleaf 11]

為何我說殺雞用牛刀方法)Lagrange Multiplier 法,因為做法很麻煩

現在我概述Lagrange Multiplier 求極值法

f(x,y)為欲求及值得多變數函數(變數可不只兩個)

g(x,y)=0為其限制條件

λ稱為拉格蘭吉乘子

fx+λgx=0.......(1) fx在此表示對x偏微,fy在此表示對y偏微

fy+λgy=0.......(2)

g=0...............(3)

解聯立方程式所的到的(x,y)就是發生極值的(x,y)

以本題而言

限制條件為x平方+y平方=9

欲求極值的函數為2x-3y

2+λ(2x)=0.......(1)

-3+λ(2y)=0......(2)

x平方+y平方=9....(3)

由(1) x=-1/λ 由(2) y=3/2λ 一齊代入(3) 求出 λ=正負根號13除6

可得 x=負正6除根號13 y=正負9除根號13

這兩組解帶入2x-3y 必是極大或極小

極大39除根號13=3乘根號13

極小 -39除根號13=-3乘根號13

這做法是不是非常麻煩,因為這做法是應付多變數並非線性的題目

上面的題目只要能使用(1)柯西不等式 (2)算數平均數≧幾何平均數

一定比較簡單

前面同學說以秒計的快(用偏微分),我相信那是隱函數的微分,只要同學熟悉連鎖率

(chain rule),不學偏微分一樣很快算出來,因為隱函數的微分就是連鎖律導出的

[九天驚虹 10]

前面同學說以秒計的快(用偏微分),我相信那是隱函數的微分,只要同學熟悉連鎖率

恩.. 確定是偏微分orz

翻了一下數學補教，找到了弦中點的題目。

y^2=6x 之一弦中點為M(5,3)，求包含此弦的直線方程式。

關於這一題的解法，翻翻郝強的講義可以找到許多種，至少有四種吧。

其中關於微分的方法，就有兩種，偏微分與隱微分。而兩種解題的速度，都是差不多快的。

只是沒有微分基礎的人，根本連隱微分都不曉得為什麼了，何況是偏微分，而以實際利益考量，這樣教，學生的分數會比較高。

就以這次的段考(圓錐曲線)而言，就有三題可以利用隱微分或者是偏微分的方法，快速計算出答案。而對於不會這項技巧的同學們，就很明顯吃虧了。

[清風明月 10]

高中學到的求極值方法

不外乎柯西跟平均數的不等式

直到高三選數甲的話才會有微分求極值的東西出現>"<

[Deleter 10]

最近剛加入，允許我做個自我介紹＠＠？

應為實在沒法而提供任何問題的解答

再加上看到什麼²∼點點點的頭就倒的差不多了

希望加入這邊可以增加課業程度啦．＿．