【問題】Taylor and L'Hospital rule

[192837456 10]

有幾題問題我問為是L'Hospital rule 或者是 Taylor series 這一類的題目下去解

但是都解不太出來的說 所以請大大幫我看一下的說

1 lim (2^x) / e^(x^2)

x->∞

2 lim [e - (1+x)^1/x ] /x

x->0

3 sinx = (x-x^3/3！+x^5/5！-......)

那 (sinx)^2 = ?

4 lim (x * sin-1x)/x-sinx

x->0

5 lim (e^x -e^sinx)/x - sinx

x->0

6.lim (a^x -a^sinx)/x^3

x->0

7 f(x) = e^(lnx+x) 求 f'(x) 把F(x)微分

8 2x^3-y^3+4xy-2x = 0 在 X = -1 Y =-2 時

求 d^2y/dx^2

[00 10]

先來解我會的

1.

lim (2^x) / e^(x^2)

x->∞

=lim exp[ln[(2^x) / e^(x^2)]]

x->∞

=lim exp[xln2-x^2]

x->∞

=exp[lim (xln2-x^2)]

........x->∞

=exp(-∞)

=0

註：我省略了指數函數的連續性證明，和4-5行等號的證明。

3.(sinx)^2=(1-cos2x)/2，d(sinx)/dx=cosx，皆下來就容易多了。

6.這不是不定式？！0代入，分子是1，分母是0，答案是無限大？還是我看錯了？

[Zeta 10]

7.本題求f'(x)

運用鏈鎖法則(chain rule)

8.此題為隱函數的微分

此函數等號兩端同時對x一次微分得

移項整理後3y^2˙dy/dx=6x^2+4y-2

則得到dy/dx=(6x^2+4y-2)/3y^2

二階導數即是把一階導數再微分一次,利用除法公式(用乘法公式更好,我選乘法公式)作微分

即dy/dx=(6x^2+4y-2)˙3y^(-2)

則二階導數=3y^(-2)˙(12x+4)-6y^(-3)˙(6x^2+4y-2)

有序對(-1,-2)代入二階導數的表示式,得此隱函數在(-1,-2)的二階導數值為-3/4

不好意思,MathType我還不太會用,先打這些上來,不過過程是都有了,只是沒有全部用MathType寫出來而已

[2sky 10]

dy/dx (4xy)=4( y + dy/dx * x )

應該不是4y?

4( y + dy/dx * x )=4y+4xy'

[chpohoa1 10]

1. 0< lim (2^x)/e^(x^2) < lim (2^x)/e^x = lim (2/e)^x = 0 ，由夾擠定理知原式 = 0

　　x->∞　　　　　　x->∞　　　　x->∞

2. lim(1+x)^1/x　=　lim( 1+ 1/n )^n　，將原式變成lim { e-(1+ 1/n)^n } * n

　x->0　　　　　　n->∞　　　　　　　　　　　n->∞

　(1+1/n)^n　=　(1+ 1/1! + 1/2! + 1/3! ...) - 1/2n　*　{ (1*2)/2! + (2*3)/3! +....}　+ 1/(n^2){..}

　

　=　e + e/2n + {....}/(n^2)，故　lim { e-(1+ 1/n)^n } * n　

　　　　　　　　　　　　　　n->∞

　=　e/2　

　

3.有樓大證明了

4.先令sin-1x = u ，→x =sinu

　因為x->0→u->0　

　又 lim u/sinu =1 ，可得 lim sin-1x/x=1

　　u->0　　　　　　　x->0

　→ lim (x * sin-1x)/x-sinx = lim (x^2) / (x-sinx)　*　(sin-1x)/x

　　x->0　　　　　　　　　x->0

　　= lim (x^2) / (x-sinx) * lim (sin-1x)/x = lim (x^2) / (x-sinx)

　　　x->0　　　　　　　x->0　　　　　x->0

最後一項由L'Hospital rule 知其極限為∞，故原式->∞

5.因為x->0 → x-sinx ->0 ，設x-sinx = h->0

將原式變形為

lim e^sinx　*　lim (e^h - 1)/ h

x->0　　　　h->0

又後面那一項相當於e^x 微分後代0的結果或者也可用L'Hos皆可得出等於1

故原式極限=1*1=1

6.將原式變形為

lim (a^x-a^sinx) / (x - sinx) * lim (x-sinx)/x^3

x->0　　　　　　　　　　x->0

由第5題的方法可得第1項之極限= lna

第2項的極限可由L'H或泰勒展開式得到

由L'H上下各微分3次可得分母為6，分子為cosx，x->0，cox->1

故第2項極限=1/6

原式極限=lna * 1/6

7.樓大已證

8.樓上某位大大微分錯誤，可能將隱微分跟偏微分搞混

2x^3-y^3+4xy-2x = 0 ，兩邊對x微分

6x^2-3y'y^2+4xy'+4y-2=0，(x,y)=(-1,-2)代入得y' =-1/4

將上式2邊再對x微分一次可得

12X-6y(y' )^2-3y''y^2+4xy"+4y'+4y'=0，( x,y,y' )=(-1,-2,-1/4) 代入可得y'' = -53/64

另外，隱函數的目的就是將它放在函數群裡而不將他表示成顯函數y=f(x)的型式，

因為不論一開始或中途將其變成顯函數反而會更麻煩，舉例來說像 siny+e^y = x

，當(x,y) =(1,0)時求y' ，這時採用隱微分是比較好的方法

[00 10]

1. 0< lim (2^x)/e^(x^2) < lim (2^x)/e^x = lim (2/e)^x = 0 ，由夾擠定理知原式 = 0

x->∞ x->∞ x->∞

xd我竟然漏了這麼簡單的解法。

[2sky 10]

可是他只寫4y不是嗎= =

[漂泊滴復仇者 10]

先來解我會的

1.

lim (2^x) / e^(x^2)

x->∞

=lim exp[ln[(2^x) / e^(x^2)]]

x->∞

=lim exp[xln2-x^2]

x->∞

=exp[lim (xln2-x^2)]

........x->∞

=exp(-∞)

=0

註：我省略了指數函數的連續性證明，和4-5行等號的證明。

3.(sinx)^2=(1-cos2x)/2，d(sinx)/dx=cosx，皆下來就容易多了。

6.這不是不定式？！0代入，分子是1，分母是0，答案是無限大？還是我看錯了？

答案是無限大阿...

還是我有漏掉什麼??