【分享】自然數ｎ次方和有什麼應用？

[夢境的行旅 10]

幫我想想看　自然數的ｎ次方和有什麼應用？（不然底下的東西就只是算來自己開心的而已）

S1 1/2 1/2 0

S2 1/3 1/2 1/6 0

S3 1/4 1/2 1/4 0 0

S4 1/5 1/2 1/3 0 -1/30 0

S5 1/6 1/2 5/12 0 -1/12 0 0

S6 1/7 1/2 1/2 0 -1/6 0 1/42 0

S7 1/8 1/2 7/12 0 -7/24 0 1/12 0 0

S8 1/9 1/2 2/3 0 -7/15 0 2/9 0 -1/30 0

S9 1/10 1/2 3/4 0 -7/10 0 1/2 0 -3/20 0 0

S10 1/11 1/2 5/6 0 -1 0 1 0 -1/2 0 5/66 0

大家應該猜到了吧　每一行的係數就是　SIGMA K的n次方　求和公式中的係數

當然　第三行以後就是很罕見的公式了　是因為不常用　不是因為給不出來（見ｂ）

推出的方法我就不在這裡獻醜　我猜這大概又是在那本高等數學教科書中　兩三下優雅解決的問題　只是書海茫茫緣慳一面而已　我的工具是比較繁雜的初等方法　加上靈感和耐性;-)

而我的方法已經算是蠻有效率了= ="" 　只用到多項式跟加減乘除　不過因為步驟頗巧妙　上面的結果可以在２０分內推出來（扣除摸索的時間）

總而言之大家一定可以看出一些規律：

ａ首項係數是１／ｎ+１這很容易解釋

ｂ自然數ｎ次方和都可以用ｎ+１次的函數表示　也還算好懂

＊ｃ偶數行除了第２行都是１／２　其它都是整排的零！！！！（已經確定４-６-８-１０行底下全部都是）我的猜測是後來的每一偶數排都是如此　但真的是這樣嗎　

我的方法比較像遞迴的程序　不容易解釋　每次都是算一算才發現果然也是０

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給更強的你：如果有什麼簡潔的方式可以說明以上　尤其是＊ｃ　請不吝指教

PS :E 為了證明不是從別的地方貼過來的　請給出S11的係數

當然還有那個最根本的問題：有什麼應用？不只是我自己算來製造成就感而已吧？

[hammer 10]

我還看不出有什麼應用啦

不過算算然後給自己成就感也不錯啊

畢竟 數學拿來娛樂人心也是很重要的一個功能

[Esther Chang 10]

對不起(我比較笨)

每一行的係數就是　SIGMA K的n次方　求和公式中的係數

我看不懂阿?!

有人可以為我說明清楚一點嗎?

謝謝

[清風明月 10]

可不可以說明Sn是啥小

[孤城 10]

你有驗算過嗎= =a

我從S3之後所算出來的答案就怪怪的了

還是說我理解能力有問題="=？

[夢境的行旅 10]

驗證：

S1___N(N+1)/2

S2___N(N+1)(2N+1)/6

S3___[N(N+1)/2]^2

這兩個可以提出因式稍稍化簡

S4___1/5N^5+1/2N^4+1/3N^3-1/30N = N(N+1)(2N+1)(3N^2+3N-1)/30 ,confirmed

S5___ (...省略...)=N^2(N+1)^2(2N^2+2N-1)/12 ,confirmed

以後有一個很奇妙的規律:偶數次方和一定有 N(N+1)(2N+1)的因式而奇次方和一定有N^2(N+1)^2

S6___(...省略...) ,confirmed (用EXCEL算的)

S7___(...省略...) ,confirmed (同上)

S8___(...省略...) ,confirmed (我打了好久類似=A3^9/9+A3^8/2+A3^7*2/3-A3^5*7/15+A3^3*2/9-A3/30類的東西，請大人您饒了我唄)

底下我真的懶得算了(由於這是由整套一貫方法推出的係數，如果前面對後面的結果我「掛保證」是對的)

PS我覺得「是啥小」聽起來不可愛是也，君不見大悶鍋他們都說「啥小......朋友」嗎？快，說對不起

[夢境的行旅 10]

請注意例如S6第一項是N的七次方

要不然也可能是您列出的多項式中漏了中間的0

翻閱數學相關，這好像是由一個叫白努利多項式的??????推出一些性質再??????

但那時我不及細看，請聽下回分解(也要那本書還在才行)

關鍵字：白努利多項式