【問題】兩題不等式

[論壇帳號 10]

1.證明對所有正實數a,b,c且ab+bc+ca=1，

滿足1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b+c)≧3

2. 已知x^2+y^2+z^2+t^2+r^2=5，

證明x^2/(y+z+t)+y^2/(z+t+r)+z^2/(t+r+x)+t^2/(r+x+y)+r^2/(x+y+z)≧5/3

(題外話，大於等於和小於等於怎麼打?)

[rm2slg 10]

1.證明對所有正整數a,b,c且ab+bc+ca=1，

滿足1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b+c)>=3

(題外話，大於等於和小於等於怎麼打?)

這裡可能是指正實數而非正整數，否則無解...

大於等於與小於等於使用新注音按 =

然後選就有了

[論壇帳號 10]

這裡可能是指正實數而非正整數，否則無解...

大於等於與小於等於使用新注音按 =

然後選就有了

是我打太快了，是正實數沒錯，

我的新注音不給選....

還是只能用複製貼上這方法...

[potter5233 10]

這題我用正實數做不出來

用正整數反而可以

移向後同乘（a＋b）（b＋c）（c＋a）

得（c^2＋1）＋（b^2＋1）＋（a^2＋1）＋【（a＋b）（b＋c）（c＋a）/（a＋b＋c）】－3（a＋b）（b＋c）（c＋a）≧0

令m＝（a＋b＋c）, n＝（a＋b）（b＋c）（c＋a）

再同乘（a＋b＋c）

得m（m^2＋1）＋n－3m n≧0-----1式

另外需證明m＞n

因為

n＝【（a＋b）（b＋c）】（c＋a）＝（b^2＋1）（c＋a）＝a＋c＋b（bc＋ba）

m＝a＋b＋c＝a＋c＋b（ab+bc+ca）

故m＞n

展開1式

m^3＋m＋n－3mn≧m^3＋m＋n－3m^ 2＝m（m^ 2－3m＋1）＋n

我們只需證明m ^2－3m＋1≧0

用a,b,c帶回原式

得a^ 2＋b ^2＋c^ 2＋3－3（a＋b＋c）

＝a ^2＋b^ 2＋c ^2＋3（ab+bc+ca－a＋b＋c）

＝a ^2＋b ^2＋c ^2＋3【a（b－1）＋b（c－1）＋c（a－1）】

因為a,b,c屬於正整數

a（b－1）＋b（c－1）＋c（a－1）≧0

故a ^2＋b^ 2＋c^ 2＋【a（b－1）＋b（c－1）＋c（a－1）】恆大於0

原式≧0成立

[清風明月 10]

要先將字調到全形　出現「＝」

再按↓選取成≦或是≧