【問題】關於循環小數的問題

[410920 10]

我們知道分數的分母如果只有2或5的倍數，則該分數為有限小數，因為可以劃為一個整數除以10的倍數，我想請問一下分母是其他的整數，而分子又不是這個整數的倍數，則這個分數是一個循環小數<ex：1/7是循環小數>，有辦法證明嗎，還是說這是別人找出來的規則，可以幫我解答嗎，謝謝！:E

1a435/88是有限小數 求a？我是從這一題想到這個問題的

[rm2slg 10]

我們知道分數的分母如果只有2或5的倍數，則該分數為有限小數，因為可以劃為一個整數除以10的倍數，我想請問一下分母是其他的整數，而分子又不是這個整數的倍數，則這個分數是一個循環小數<ex：1/7是循環小數>，有辦法證明嗎，還是說這是別人找出來的規則，可以幫我解答嗎，謝謝！:E

1a435/88是有限小數 求a？我是從這一題想到這個問題的

設a/b符合上述條件（其中b>a，a>b的狀況，先把a/b化成k+q/l［q<l］再討論）

claim:

若b的質因數分解含a的質因數，2^n，5^m（n，m為正整數或0）以外的數字，則a/b為循環小數

prove:

若含其他質因數，設為e，則e與10、a皆互質，故永遠無法除盡，

　　claim:所以是循環小數

　　prove:

因為e無法整除10與a，所以e無法整除a、a*10、a*10^2...a*10^(e-1)等e個數

又除e的餘數有e-1個，故a、a*10、a*10^2...a*10^(e-1)等e個數中必有兩個除e餘數相同

設為a*10^f與a*10^g，g>f，所以得a*10^(f+h)的餘數與a*10^(g+h)相同

所以這是一個循環小數，循環節g-f

同理可証，a/b為循環小數

應該是這樣，有誤還請多指教...

[410920 10]

設a/b符合上述條件（其中b>a，a>b的狀況，先把a/b化成k+q/l［q<l］再討論）

claim:

若b的質因數分解含a的質因數，2^n，5^m（n，m為正整數或0）以外的數字，則a/b為循環小數

prove:

若含其他質因數，設為e，則e與10、a皆互質，故永遠無法除盡，

　　claim:所以是循環小數

　　prove:

因為e無法整除10與a，所以e無法整除a、a*10、a*10^2...a*10^(e-1)等e個數

又除e的餘數有e-1個，故a、a*10、a*10^2...a*10^(e-1)等e個數中必有兩個除e餘數相同

設為a*10^f與a*10^g，g>f，所以得a*10^(f+h)的餘數與a*10^(g+h)相同

所以這是一個循環小數，循環節g-f

同理可証，a/b為循環小數

應該是這樣，有誤還請多指教...

謝謝你的解答，我大概了解了，謝謝:E