【問題】關於循環小數的問題


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我們知道分數的分母如果只有2或5的倍數,則該分數為有限小數,因為可以劃為一個整數除以10的倍數,我想請問一下分母是其他的整數,而分子又不是這個整數的倍數,則這個分數是一個循環小數<ex:1/7是循環小數>,有辦法證明嗎,還是說這是別人找出來的規則,可以幫我解答嗎,謝謝!:E

1a435/88是有限小數 求a?我是從這一題想到這個問題的

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我們知道分數的分母如果只有2或5的倍數,則該分數為有限小數,因為可以劃為一個整數除以10的倍數,我想請問一下分母是其他的整數,而分子又不是這個整數的倍數,則這個分數是一個循環小數<ex:1/7是循環小數>,有辦法證明嗎,還是說這是別人找出來的規則,可以幫我解答嗎,謝謝!:E

1a435/88是有限小數 求a?我是從這一題想到這個問題的

設a/b符合上述條件(其中b>a,a>b的狀況,先把a/b化成k+q/l[q<l]再討論)

claim:

若b的質因數分解含a的質因數,2^n,5^m(n,m為正整數或0)以外的數字,則a/b為循環小數

prove:

若含其他質因數,設為e,則e與10、a皆互質,故永遠無法除盡,

  claim:所以是循環小數

  prove:

因為e無法整除10與a,所以e無法整除a、a*10、a*10^2...a*10^(e-1)等e個數

又除e的餘數有e-1個,故a、a*10、a*10^2...a*10^(e-1)等e個數中必有兩個除e餘數相同

設為a*10^f與a*10^g,g>f,所以得a*10^(f+h)的餘數與a*10^(g+h)相同

所以這是一個循環小數,循環節g-f

同理可証,a/b為循環小數

應該是這樣,有誤還請多指教...

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設a/b符合上述條件(其中b>a,a>b的狀況,先把a/b化成k+q/l[q<l]再討論)

claim:

若b的質因數分解含a的質因數,2^n,5^m(n,m為正整數或0)以外的數字,則a/b為循環小數

prove:

若含其他質因數,設為e,則e與10、a皆互質,故永遠無法除盡,

  claim:所以是循環小數

  prove:

因為e無法整除10與a,所以e無法整除a、a*10、a*10^2...a*10^(e-1)等e個數

又除e的餘數有e-1個,故a、a*10、a*10^2...a*10^(e-1)等e個數中必有兩個除e餘數相同

設為a*10^f與a*10^g,g>f,所以得a*10^(f+h)的餘數與a*10^(g+h)相同

所以這是一個循環小數,循環節g-f

同理可証,a/b為循環小數

應該是這樣,有誤還請多指教...

謝謝你的解答,我大概了解了,謝謝:E

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