【問題】對機率的疑惑

[四神湯 10]

以前常常對機率的概念有些困惑，不知道是不是我所學不精，有兩個問題想請教一下大家。

第一個是，

好比說，

3:4=3/4

我對數學的直覺，通常認為當我們在說「3:4」的時候，是要說明有七個東西，而其中三個是相同的，另外四個也是相同的，然後分成兩組，也就是三個對四個。從中了解數量的差異。

而另外一個直覺是，當我們在說「3/4（四分之三）」時，通常是在表達某四個物品其中的三份，換言之，也就是只有四個東西，而我想指出那四個東西的其中三個。

這兩個直覺的概念是不同的（一種是七個東西的概念，另一種是四個東西的概念），所以我的疑問是，為什麼可以這麼輕易掛上一個等號？或是說，這個等號所具備的意義本來就不含蓋去解釋這樣的概念？

有時候我也覺得，當數學題目出題的時候要求把答案轉換成「比值」是一件奇怪的事情，從問題的脈絡如果求得的是一個比數，通常的狀況是在說明如前述例子有七樣東西，然後我們去了解他們的數量差異。但轉換成比值的目的是什麼？去解釋其中三個是另外四個的四分之三倍？但是這樣一來，當我要說一個東西是另一個東西的四分之三倍時，我是在轉換把後者乘上四分之三，進而去感覺他們之間的差異。這樣的思考不就多繞了一圈嗎？

第二個問題是，

我現在假設兩種情境：

1. 現在有一萬個洞，然後我有9999個白球，以及1個紅球，我把這些球全部各自放進洞裡，讓每個洞都有一個球。放好以後，我找來一萬個人，各自站在每個洞口，而他們並不知道洞裡的球是什麼顏色。對這一萬個人中的每個人來說，自己的洞裡頭的球是紅色的機率是萬分之一。接下來，我要求一個接著一個把球從洞裡拿出來，結果前9999個人拿的球都是白色，而接下來將要拿球的這個人，他拿到紅球的機率將會是百分之百。

2. 現在可憐的小明得了一個絕症，醫生跟他說，要開刀才能治好，不過這個手術失敗率是萬分之一，換言之，是有可能會失敗的。然後醫生跟他說：「在估計出這個機率後，已經有9999個人手術成功，而你是第一萬人。」請問在這個情況下，我應該認為小明手術失敗的機率是萬分之一？還是其實比萬分之一的風險還高更多？

這兩種情境有個差別是，前者是封閉的，後者是開放的。但感覺起來在機率的表示上似乎沒有差別，這在大家的看法裡應該怎麼解釋呢？

[tale_lalala 10]

第二個問題和生男生女一樣吧

妳第一胎生女的

第二胎一定是男的??

這樣說應該可以理解吧

[白鹿 11]

這兩個直覺的概念是不同的（一種是七個東西的概念，另一種是四個東西的概念），所以我的疑問是，為什麼可以這麼輕易掛上一個等號？或是說，這個等號所具備的意義本來就不含蓋去解釋這樣的概念？

那不是概念

等號的兩邊都是數

[四神湯 10]

那不是概念

等號的兩邊都是數

當我說某個東西是「3:4」時，我並不是把「3:4」當作一個數阿，而是在描述比例，挺多只能說是在描述兩個數的關係。

「3/4」可以當作一個數，不管它是作為比值（數值）或是很單純的數字。

我的意思是，這兩種東西被運用在不同的地方（代表的意義不同），但在數學法則上是被歸於相等的。

[四神湯 10]

第二個問題和生男生女一樣吧

妳第一胎生女的

第二胎一定是男的??

這樣說應該可以理解吧

嗯，這當然能理解。

我的問題在於兩個情境的對比，而不是只針對一個來各自解釋。

[九天驚虹 10]

以前常常對機率的概念有些困惑，不知道是不是我所學不精，有兩個問題想請教一下大家。

第二個問題是，

我現在假設兩種情境：

1. 現在有一萬個洞，然後我有9999個白球，以及1個紅球，我把這些球全部各自放進洞裡，讓每個洞都有一個球。放好以後，我找來一萬個人，各自站在每個洞口，而他們並不知道洞裡的球是什麼顏色。對這一萬個人中的每個人來說，自己的洞裡頭的球是紅色的機率是萬分之一。接下來，我要求一個接著一個把球從洞裡拿出來，結果前9999個人拿的球都是白色，而接下來將要拿球的這個人，他拿到紅球的機率將會是百分之百。

2. 現在可憐的小明得了一個絕症，醫生跟他說，要開刀才能治好，不過這個手術失敗率是萬分之一，換言之，是有可能會失敗的。然後醫生跟他說：「在估計出這個機率後，已經有9999個人手術成功，而你是第一萬人。」請問在這個情況下，我應該認為小明手術失敗的機率是萬分之一？還是其實比萬分之一的風險還高更多？

這兩種情境有個差別是，前者是封閉的，後者是開放的。但感覺起來在機率的表示上似乎沒有差別，這在大家的看法裡應該怎麼解釋呢？

1. 無疑的 拿到紅球的機率是1

那是因為我們對於這個事件 多得到了一些資訊 (前面的人通通抽到白球)

如果少了這項資訊 (前面的人通通抽到白球)

那麼機率就會是萬分之一

2. 如果動手術是獨立的 那麼失敗的機率仍然是萬分之一

獨立指的是 A病人手術成功與否並不會影響B病人手術的成功與否

[白鹿 11]

我猜，在數學裡，等號的用途是放在兩個數的中間以形成一個formula*1，所以等號不能用來連接並不是代表數的詞。

*1︰根據等號的定義，這個formula為真若且唯若等號兩邊的數一樣大。

我不知道3:4在數學裡是不是一個數

如果是的話，而且如果"3:4=3/4"為真，那麼"3:4"就僅僅是"3/4"的另外一種寫法而已（即，它們表示的數是同一個）。

如果不是的話，那麼"3:4=3/4"就不會是一個數學上為真的句子，即使你可以以某種方法理解它，它也不是一個嚴謹的句子。

[四神湯 10]

我猜，在數學裡，等號的用途是放在兩個數的中間以形成一個formula*1，所以等號不能用來連接並不是代表數的詞。

*1︰根據等號的定義，這個formula為真若且唯若等號兩邊的數一樣大。

我不知道3:4在數學裡是不是一個數

如果是的話，而且如果"3:4=3/4"為真，那麼"3:4"就僅僅是"3/4"的另外一種寫法而已（即，它們表示的數是同一個）。

如果不是的話，那麼"3:4=3/4"就不會是一個數學上為真的句子，即使你可以以某種方法理解它，它也不是一個嚴謹的句子。

如果我把數學中的等號理解成「等號兩邊等價」，因為等號似乎還可以延伸出如「全等（≡）」的概念，像在圖形上說明兩個三角型是全等的，那就不會侷限在「必須是數」的狀況。所以，或許我也可以做出對於「3:4=3/4」的質疑。

[四神湯 10]

1. 無疑的 拿到紅球的機率是1

那是因為我們對於這個事件 多得到了一些資訊 (前面的人通通抽到白球)

如果少了這項資訊 (前面的人通通抽到白球)

那麼機率就會是萬分之一

2. 如果動手術是獨立的 那麼失敗的機率仍然是萬分之一

獨立指的是 A病人手術成功與否並不會影響B病人手術的成功與否

如果這個開刀失敗的機率，是根據全世界的這類病人體質是否會成功或失敗來作為估計標的，那能不能說A病人的手術成功與否會影響B病人呢？

[白鹿 11]

如果我把數學中的等號理解成「等號兩邊等價」，因為等號似乎還可以延伸出如「全等（≡）」的概念，像在圖形上說明兩個三角型是全等的，那就不會侷限在「必須是數」的狀況。所以，或許我也可以做出對於「3:4=3/4」的質疑。

全等是一個歧義的概念。

「兩個三角形全等」的「全等」和「兩個數全等」的「全等」和「兩個句子全等」的「全等」不會是同一個意思。

（如果你問的話，因為數和句子沒有角，三角形和數沒有真值，句子們和三角形們之間沒有序列關係）

而且「兩個數是全等的」是一件奇怪的宣稱，因為一般人不會這樣說（這我倒不太確定，我過我猜是這樣）。

所以當你做出這樣的宣稱，人家一定會問你︰你說的全等是什麼意思，是等於的意思嗎？如果是的話，回覆如同我上一篇文章；如果不是的話，代表你對於「3:4=3/4」裡的「=」的理解和一般的數學使用者不一樣，這樣一來你原來的那個對於別人的宣稱的疑問就是不正當的，因為你沒弄懂人家在談什麼。

[九天驚虹 10]

數是一個抽象的觀念

一本書 一頭牛 一罐飲料

可以抽取出一個「1」的觀念

但1並不能代表 一本書 一頭牛 或一罐飲料

用實際的物體去思考數 不是很恰當的

[九天驚虹 10]

如果這個開刀失敗的機率，是根據全世界的這類病人體質是否會成功或失敗來作為估計標的，那能不能說A病人的手術成功與否會影響B病人呢？

我不懂這句話的意思

A病人手術成功與否

和

B病人手術成功與否

為什麼有關係呢? 是什麼樣的關係呢?

如果看不出來

我就會假設 這兩事件是獨立的

[四神湯 10]

全等是一個歧義的概念。

「兩個三角形全等」的「全等」和「兩個數全等」的「全等」和「兩個句子全等」的「全等」不會是同一個意思。

（如果你問的話，因為數和句子沒有角，三角形和數沒有真值，句子們和三角形們之間沒有序列關係）

而且「兩個數是全等的」是一件奇怪的宣稱，因為一般人不會這樣說（這我倒不太確定，我過我猜是這樣）。

所以當你做出這樣的宣稱，人家一定會問你︰你說的全等是什麼意思，是等於的意思嗎？如果是的話，回覆如同我上一篇文章；如果不是的話，代表你對於「3:4=3/4」裡的「=」的理解和一般的數學使用者不一樣，這樣一來你原來的那個對於別人的宣稱的疑問就是不正當的，因為你沒弄懂人家在談什麼。

哎呀，實際上我就是在質疑一般數學使用者在使用「=」的時候是不正確的。特別是當數學用在說明、計算一些現實生活中的問題時，把三比四宣稱成相等於四分之三，實際上兩者在說的東西是不同的意思。我想，如果把這種不同意思納入數學思維中，並不會有什麼不妥，甚至更能運用在不同的情況（隨便舉個例子，像是角度的運算，會把角度與純數區分開來。它是在計算角度，而不是一個單純的數）。

數學不就是因為要研究生活中可能遇到的值或量而成為一個學問嗎？

[四神湯 10]

我不懂這句話的意思

A病人手術成功與否

和

B病人手術成功與否

為什麼有關係呢? 是什麼樣的關係呢?

如果看不出來

我就會假設 這兩事件是獨立的

我用另一個方式說好了。如果現在有一位外星人突然跟地球民眾說：「我正確地統計出你們地球人總共有多少人得了愛滋，而那些人剛好佔你們全人口的百分之五。」換言之，在大家都還不知道自己有沒有得病之前，大家的中獎機率都是3億分之1（假設地球剛好有60億人），然後突然醫學非常發達，可以正確檢驗出有沒有得愛滋。而台灣首當其衝成為第一個檢查的國家（當台灣全數檢查完以後，別的國家才會接續），前面檢查的七千人全部都沒有得愛滋，然後排在第七千零一人的小明，他並不知道自己得病的機率是多少，那麼醫生是否應該回答他是「三億分之一」？還是其實應該更高？

[白鹿 11]

哎呀，實際上我就是在質疑一般數學使用者在使用「=」的時候是不正確的。特別是當數學用在說明、計算一些現實生活中的問題時，把三比四宣稱成相等於四分之三，實際上兩者在說的東西是不同的意思。我想，如果把這種不同意思納入數學思維中，並不會有什麼不妥，甚至更能運用在不同的情況（隨便舉個例子，像是角度的運算，會把角度與純數區分開來。它是在計算角度，而不是一個單純的數）。

數學不就是因為要研究生活中可能遇到的值或量而成為一個學問嗎？

你的觀念不對。

要利用數學公式解決生活上的問題，正確的作法是先把生活上的問題翻譯成用數學語言寫成的數學問題，然後用公式來解，而不是直接用減號連接三個橘子和一個橘子，然後宣稱自己得到兩個橘子。在數學裡減號只能連接數字（或者代表數字的數學語句），拿減號來連接其它東西是不make sense的。

我用另一個方式說好了。如果現在有一位外星人突然跟地球民眾說：「我正確地統計出你們地球人總共有多少人得了愛滋，而那些人剛好佔你們全人口的百分之五。」換言之，在大家都還不知道自己有沒有得病之前，大家的中獎機率都是3億分之1（假設地球剛好有60億人），然後突然醫學非常發達，可以正確檢驗出有沒有得愛滋。而台灣首當其衝成為第一個檢查的國家（當台灣全數檢查完以後，別的國家才會接續），前面檢查的七千人全部都沒有得愛滋，然後排在第七千零一人的小明，他並不知道自己得病的機率是多少，那麼醫生是否應該回答他是「三億分之一」？還是其實應該更高？

既然你可以舉得出這個例子，你應該也瞭解外星人的宣稱和你最先根據歷史所做出的機率宣稱有所差別。

外星人的宣稱事實上不是一個機率宣稱，而是一個對於已發生的事實的斷說︰「有百分之五的人罹患愛滋」，這跟我們說的「根據經驗，一百個人裡就有5個罹患愛滋病」是性質上完全不同的命題。

[四神湯 10]

你的觀念不對。

要利用數學公式解決生活上的問題，正確的作法是先把生活上的問題翻譯成用數學語言寫成的數學問題，然後用公式來解，而不是直接用減號連接三個橘子和一個橘子，然後宣稱自己得到兩個橘子。在數學裡減號只能連接數字（或者代表數字的數學語句），拿減號來連接其它東西是不make sense的。

你怎麼可以用數學原則指責我懷疑數學原則的錯誤:P ？

既然你可以舉得出這個例子，你應該也瞭解外星人的宣稱和你最先根據歷史所做出的機率宣稱有所差別。

外星人的宣稱事實上不是一個機率宣稱，而是一個對於已發生的事實的斷說︰「有百分之五的人罹患愛滋」，這跟我們說的「根據經驗，一百個人裡就有5個罹患愛滋病」是性質上完全不同的命題。

對地球上所有人類個體來說，他們在還沒檢測之前罹患愛滋的機率的確是百分之五不是嗎？不管它們是否是根據歷史經驗，或是根據一個既定事實的統計。（還有被你這樣一說，我發現前面把數值講錯了，應該是三億人，而不是三億分之一。）

[白鹿 11]

你怎麼可以用數學原則指責我懷疑數學原則的錯誤:P ？

因為不論從方便性來說還是嚴謹性來說，我們都有理由先將日常生活中的問題形式化為數學語言再作計算。

數學原則告訴我們，一個等號可以連接兩個數而形成一個數學語句，這個數學語句為真的條件是等號兩邊的數字一樣大。

如果你不只打算拿等號來連接數，還打算拿等號來連接橘子 比爾蓋茲 豆漿 之類的東西，你必須告訴我們，

1.這個等式兩邊到底是什麼東西

2.這個等式為真的條件是什麼

比方說，你會說，在「一碗豆漿=一碗豆漿」裡，等號兩邊的東西是碗裝豆漿，這個等號為真的條件是等號兩邊的豆漿碗數一樣多。

那「一公升豆漿=兩公升豆漿」呢？

這個句子為真的條件顯然跟上面那個句子不一樣，因為用公升來計算的豆漿沒有個數（即使有，它的意義也和上面的個數的意義不一樣。）

所以，你不只需要定義「=」，你還需要定義專門用來談論液體容量的「=*」

（因為在嚴謹的系統中我們不能允許一個符號有兩種意義，除非我們在它每次出現的時候都做一次解釋，不過這樣比直接多定義幾個符號還麻煩。）

更何況「今年調薪率=去年調薪率」「男人平均壽命=女人平均壽命」這些句子

如此這般，一個數學系統中至少需要有幾十種「=」，才能符合你的要求

（甚至必須要有相對應的數量的其他符號）

所以數學家會建議你，讓等號只連接數字，然後相信等式可以運用到生活上這件事只是一個美麗的巧合。

對地球上所有人類個體來說，他們在還沒檢測之前罹患愛滋的機率的確是百分之五不是嗎？不管它們是否是根據歷史經驗，或是根據一個既定事實的統計。（還有被你這樣一說，我發現前面把數值講錯了，應該是三億人，而不是三億分之一。）

在外星人的例子裡，我們推斷出小明"事實上罹患愛滋"的機率大於百分之五，並不是根據這兩個前提

1.對於地球上的每個人來說，他罹患愛滋的機率是百分之五。

2.已經有七千人確定沒有染病。

而是根據這兩個前提

1.地球上有三億人事實上罹患愛滋。

2.已經有七千人確定沒有染病。