【數學】絕對值的分段討論

[kobe08nba 10]

絕對值「分段討論」的基本題，我數學的基礎很差，請各位多指教

|x + 3| + |x - 2| =6

請問遇到這種絕對值題目是如何討論出x ≧ 2、 -3 ≦ x < 2 、 x < -3

那可以變成 x > 2、-3 < x < 2 、x < -3嗎?(因為我不知不等式的等號要放哪 > <~ )

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還有一題

f (x) = |x + 1|+ |x - 3| ，則f (x) 的最小值______ ?

是不是可以畫出名稱為「折點」的圖? 我不會畫耶 ~ > <

[rm2slg 10]

絕對值「分段討論」的基本題，我數學的基礎很差，請各位多指教

|x + 3| + |x - 2| =6

請問遇到這種絕對值題目是如何討論出x ≧ 2、 -3 ≦ x < 2 、 x < -3

那可以變成 x > 2、-3 < x < 2 、x < -3嗎?(因為我不知不等式的等號要放哪 > <~) <=不能，原因請往下看

對第一題：|x + 3| + |x - 2| =6

看到絕對值，

要先就絕對值中的項次討論其是否大於等於零，若大於等於零，則絕對值可拆開而不變號，

討論如下：

(1)若x+3>=0，

x-2有兩種情況

1.x-2>=0，則x範圍為x>=-3與x>=2的交集，即x-2>=0

若x-2>=0，則x+3>=0（x-2+5=x+3>=5>=0）

所以當x>=2時，絕對值不變號，有2x+1=6，x=5/2，再檢查是否符合x>=2，符合，故x=5/2為其一解

2.x-2<0，則x範圍為x>=-3與x<2的交集，即2>x>=-3

此時，x-2<0故需變號

x+3+2-x=6 <=> 5=6矛盾，無解

(2)若x+3<0，

x-2<x-2+5<0

故皆須變號，

-x-3+2-x=6，x=-7/2

檢查有-7/2+3=-1/2<0，符合，故x=-7/2為其另一解

[rm2slg 10]

還有一題

f (x) = |x + 1|+ |x - 3| ，則f (x) 的最小值______ ?

是不是可以畫出名稱為「折點」的圖? 我不會畫耶 ~ > <

我不清楚圖的名稱為何，不過這個函數是可以畫出圖的

具體畫法是用討論x值與對應的f(x)為何方程式

討論：（此將繁複部分跳過，詳細做法同上）

當x>=3時，

兩者皆為正，f(x)=2x-2

當3>x>=-1時，

一正一負，f(x)=4

當-1>x時，

兩者皆為負，一齊變號，f(x)=2-2x

f(x)在x>=3時遞增，最小值3*2-2=4

f(x)在3>x>=-1時為定值，最小值4

f(x)在-1>x時隨x遞減而遞增，最小值2-2*(-1)=4

故最小值4

圖形類似ㄩ字型

[kobe08nba 10]

對第一題：|x + 3| + |x - 2| =6

看到絕對值，

要先就絕對值中的項次討論其是否大於等於零，若大於等於零，則絕對值可拆開而不變號，

討論如下：

(1)若x+3>=0，

x-2有兩種情況

1.x-2>=0，則x範圍為x>=-3與x>=2的交集，即x-2>=0

若x-2>=0，則x+3>=0（x-2+5=x+3>=5>=0）所以當x>=2時，絕對值不變號，有2x+1=6，x=5/2，再檢查是否符合x>=2，符合，故x=5/2為其一解

2.x-2<0，則x範圍為x>=-3與x<2的交集，即2>x>=-3

此時，x-2<0故需變號

x+3+2-x=6 <=> 5=6矛盾，無解

(2)若x+3<0，

x-2<x-2+5<0故皆須變號，

-x-3+2-x=6，x=-7/2

檢查有-7/2+3=-1/2<0，符合，故x=-7/2為其另一解

我有些部分看不太懂，紅色的字，可以麻煩一下嗎?謝謝~~^ ^

[rm2slg 10]

1.x-2>=0，則x範圍為x>=-3與x>=2的交集，即x-2>=0

若x-2>=0，則x+3>=0（x-2+5=x+3>=5>=0）所以當...

因為x-2≧0，所以(x-2)+5≧0+5≧0

(2)若x+3<0，

x-2<x-2+5<0故皆須...

因為x+3<0，

所以x-2 < (x-2)+5 = x+3 < 0

[ololol86 10]

（1）

請問是僅在數線上討論還是延伸到平面呢？

我沒想太多，看到絕對值就直覺想到是一座標到兩定點(-3,0) (2,0)的距離合為2

在加上兩定點間距離是5！換句話說，圖形是個橢圓！即可得解

如果僅觀察圖形上的 X 軸，也會發現和樓上各位相同的解 x = - 7/2、5/2

（2）

關於第二題折點圖，推斷應該分別就範圍討論吧！ˋ﹍ˊ

若 x > 3 則 y = 2x -2

若-1< x <3 則y = 4

若 -1 < x 則 y = -2 x + 2

在座標軸上就三個範圍繪出圖形即可

三月的題目了，到現在才看到

還請海涵深藍新鮮人的我，解法上有瑕疵或遺漏的話希望能告訴我！