【問題】二次曲線的旋轉平移

[00 10]

關於二次曲線ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0令Δ=4acf+bde-fb^2-ae^2-cd^2（那個判斷二次曲線是否是否退化的行列式展開），試證Δ經平移旋轉後其值不變。

想法：原點平移（h,k）後變成Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0

A=a

B=b

C=c

D=2ah+bk+d

E=2ck+bh+e

F=ah^2+bhk+ck^2+dh+ek+f

轉θ角後(逆時針)

A=a*cos^2(θ)+b*sinθcosθ+c*sin^2(θ)

B=(c-a)*sin2θ+b*cos2θ

C=c*cos^2(θ)-b*sinθcosθ+a*sin^2(θ)

D=d*cosθ+e*sinθ

E=-d*sinθ+e*cosθ

F=f

然後把新的係數代入Δ，看看有沒有等於原來的Δ，然後就花了我快2小時時間還沒做出來，請問除了暴力還有比較好的作法嗎？

[heinsolid 10]

爬文得到一些靈感，旋轉、平移的矩陣對應的行列式值應該是1，把座標轉換矩陣和Δ的矩陣相乘或許可以有結果。

[珊瑚海 10]

讓我來解吧

我把解法打在word裡面,

用貼圖的方式呈現給各位看,

比較容易看懂

註: det(A')的值就等於這三個矩陣的行列式值乘在一起, 這個定理我之前已經證過給大家看了

也就是det(abc) = det(a) * det(b) * det©

至於平移後的證明只要用平移矩陣來證明就行了

證明的方法也一模一樣

[00 10]

感謝......

[00 10]

感謝......

[夢境的行旅 10]

為什麼小判別式可以用來判斷二次曲線是否「退化」呢？請用文明說服我吧。

[heinsolid 10]

為什麼小判別式可以用來判斷二次曲線是否「退化」呢？請用文明說服我吧。

何謂退化？我想這問題更為基本。

[00 10]

何謂退化？我想這問題更為基本。

退化指的是二次曲線的圖形是兩直線(可能重疊)或沒有圖形(一點)

[heinsolid 10]

2 X^2 + y^2 = -1 亦是？

[清風明月 10]

我想"沒有圖形"跟"一點"是有差的

就像{ 0 }和{　}之間的差異一樣

[清新旋律 10]

退化指的是二次曲線的圖形是兩直線(可能重疊)或沒有圖形(一點)

退化指二次曲線的圖形不是橢圓、拋物線、雙曲線。

然而二次曲線必可分類至橢圓、拋物線、雙曲線三類，

不過"退化"的定義有點忘了Orz...