【問題】方程式公式解

[a103920734 10]

大家都知道有二次方程式的公式解

但有誰知道三次和四次的公式解?

[weiye 10]

一元三次方程式的公式，

在本版以前有討論過，

也有過詳細的証明，

請自行尋找！

[supersonic 10]

大家都知道有二次方程式的公式解

但有誰知道三次和四次的公式解?

你问的是几元三次和四次?

[清風明月 10]

你问的是几元三次和四次?

應該是只有一個未知數

另外　這裡有討論

http://www.student.tw/db/showthread.php?t=95440

[一企鵝一 10]

x^3 + ax^2 + bx + c = 0

將 x 由變數 y - a/3 代替..會得到

(y - a/3)^3 + a(y - a/3)^2 + b(y - a/3) + c = 0 ...(二次向不見了)

展開後會是:

y^3 + (b - a^2 /3 ) y + (c - ab/3 + 2a^3 /27 ) = 0

把 b - a^2 /3 換成 p , c - ab/3 + 2a^3 /27 換成 q

則會變成

y^3 + py + q = 0 ....(1)

又令 y = u + v

由三次展開式

(u + v )^3 = u^3 + v^3 + 3uv(u+v)

可知 (u + v )^3 -3uv(u+v) -( u^3 + v^3) = 0

u+v 由 y 代回 :

y^3 -3uv y - ( u^3 + v^3) = 0

江此式和上方 (1) 式比較

p = -3uv , q = - ( u^3 + v^3)

u^3 * v^3 = -p^3 / 27 , u^3 + v^3 = -q

u三方成以v三方 , u三方加v三方

有兩根和兩根積的感覺

於是可以利用 兩根和兩根積 找到二次方程式

t^2 + qt - p^3 / 27 = 0

p,q 是由 原先方程式 係數a,b,c 轉換出來的

為已知數

所以可以由此求出 t 之兩根

即 u^3 和 v^3

利用 omega (ω)的觀念

即可求出 u 和 v

共9種組合

由於我們 a b c 皆為實係數

所以p,q 也都是實係數..

由

p = -3uv 為實數

q = - ( u^3 + v^3) 為實數

則可以刪去6組答案

剩下的三組 u 和 v

則代回

y = u + v

x = y - a/3

[一企鵝一 10]

x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

移項:

x^4 + ax^3 = - bx^2 - cx - d

配方:

(x^2 + a/2 * x )^2 = (a^2 / 4 - b ) x^2 - cx - d

先看看 右式 判別式 D = (-c)^2 - 4 (a^2 / 4 - b )(-d)

若 D = 0 恭喜 右式也是完全平方式 p (qx + r )^2

可直接兩邊開平方

會出現兩個一元二次方成... 即可解出 x

萬一 D≠0 時

我們在左式(x^2 + a/2 * x )^2 中嵌入一個變數 y/2 , 變成 (x^2 + a/2 * x + y /2 )^2

再調整右式, 使左右相等(等量相加的意思XD)

變成

(x^2 + a/2 * x + y /2 )^2 = (a^2 / 4 - b + y ) x^2 +( ay/2 - c) x +( y^2 / 4 - d ) ....(1)

讓右式為完全平方式 , 則

D = ( ay/2 - cx)^2 - 4 (a^2 / 4 - b + y )(y^2 / 4 - d ) = 0

D為 y 的三次式 (其中有項 y * y^2 / 4 )

解出 y 代回(1)式

兩邊開平方...回到兩個一元二次....

浩大的工程XD

我曾經用實際數字算過...

當解到最後 x = ..............................................的時候

光用大張的日曆紙(長五十多公分) 都不夠寫..囧

算到快吐血...

是說...如果 x用 a,b,c,d 表示...用了五行 大概還不夠表示出其中一個解啦 ~~ 囧TL ~!~

p.s. 此公式為 費拉利 公式 (Ferrari)

費拉利聽說式卡丹(Cardano) 的徒弟

此公式是我從國中教師手冊中

偷看到的XD

[鬼才‧魃 10]

變成

(x^2 + a/2 * x + y /2 )^2 = (a^2 / 4 - b + y ) x^2 +( ay/2 - c) x +( y^2 / 4 - d ) ....(1)

讓右式為完全平方式 , 則 （→是「讓」嗎？還是「當」？？是「讓」的話，是還要配方的意思喔？還是插入變數就是預先知道它會變完全平方式？）

D = ( ay/2 - cx)^2 - 4 (a^2 / 4 - b + y )(y^2 / 4 - d ) = 0

↑第一項似乎有錯耶→( ay/2 - c)^2

此內容已被編輯, January 17, 2010 ,由 鬼才‧魃

[夢境的行旅 10]

我覺得當你有無限位數的逼近解，再去記憶根式解沒什麼意義。尤其是根式有可能把一個實數表達成好像複數的樣子(兩個共軛的和為實數)。

重點在過程。

[Fushing翰 10]

老師都教牛頓法而已，沒講到這麼深:p

[笨腳掌 10]

然後...5次以上沒公式解喔~

((很佩服到底前人是怎麼想出來的....))

[暴牙小蘇蘇 10]

我很好奇為什麼五次以上沒有公式解 @@?

[DN黑夜 10]

看這個－【維基】五次方程

總之就是一個叫做埃瓦里斯特·伽羅瓦的人，他的伽羅瓦理論證出來的..

當然，有興趣的話就去看吧＠＠

[gh1234j 10]

我很好奇為什麼五次以上沒有公式解 @@?

這個問題好像在哪本課本上有寫xd

[法皇拿破崙 11]

這個問題好像在哪本課本上有寫xd

課本會有詳細的說明嘛:|?

頂多只是說一句某數學家證明了五次方以上的方程式沒有公式解。

好心點再補一句"此證明超過高中範圍故不加敘述"

[luadam4c 10]

想要知道為什麼五次方公式沒有解，那上大學後，不要忘記去修「代數二」（Algebra II）。

是的，不能只修代數一，因為Galois Theory第二學期才會學到。

參考書籍：Abstract Algebra, 3rd edition by Dummit & Foote. （好書啊！）

By the way，這本書也有三、四次方公式解的推導。

[第六天魔王 10]

卡丹公式

超難的

解不出來就卡蛋了

代數基本定理中說 五次方以上沒有公式解

是伽羅瓦提出的

但是他當時寫信給高斯

高斯看都沒看就把它扔了

100年後才有人看得懂

ps伽羅瓦19歲就掛了

跟別人單挑

[第六天魔王 10]

卡丹公式

超難的

解不出來就卡蛋了

代數基本定理中說 五次方以上沒有公式解

是伽羅瓦提出的

但是他當時寫信給高斯

高斯看都沒看就把它扔了

100年後才有人看得懂

ps伽羅瓦19歲就掛了

跟別人單挑