【問題】數學問題(不知道數於哪個領域或年級)

[MISERABLES 10]

1.試求出1/(1^4)+1/(2^4)+1/(3^4)+...+1/(n^4)之值的範圍，

或是給定一值N，證出1/(1^4)+1/(2^4)+1/(3^4)+...+1/(n^4)<N

2.正整數x,y,z滿足x^y+1=z^2，其中x>2,y>1。

令p為x的質因數個數，q為y的質因數個數，證明p>=q+2。

[ck3300503 10]

第一題

先證明這個數列是收斂 <N=8/7

原式<8/7

再來詳細的範圍

原式>16/5

16/15<原式<8/7

第二題好像有點條件不足 (題目打錯了嗎?) z的範圍是什麼?

[weiye 10]

樓上第一題的部份，上界的部份OK，

因為正實數數列的"前有限項和"小於"無窮項和"，

所以對於任意自然數 n 代入都會對。

(如果有補上　lim　那就更完美啦。)

　　　 　 　 k→∞

不過，對於下界的部份，如果原命題是無窮級數那是OK，

可是對任意自然數 n 都要成立就會有點問題，

正實數數列的"前有限項和"並不會大於"無窮項和"，

所以最自然的下界還是取第一項 1 就好。

另外，其實上界的部份也可以透過類似 http://www.student.tw/db/showthread.php?t=93398 這一題

的看圖形&利用積分方法，

當然求出來答案不一樣( 這是因為上界並不會有唯一值，最小上界 suprema才會有唯一值 )，

不過我猜樓上大大應該也是考慮到發問者是高一，所以才沒有透過積分方法吧:)。

[MISERABLES 10]

我看了一下，題目沒打錯，只有錯字一個。

很謝謝前面兩位學長的解答，

只是在這裡我有個問題，

學長們都是什麼時候學微積分的？

[weiye 10]

2.正整數x,y,z滿足x^y+1=z，其中x>2,y>1。

令p為x的質因數個數，q為y的質因數個數，證明p>=q+2。

第二題之所以　ck3300503　會感覺有漏掉條件得原因是 z 並沒有用到，

例如本題如果取 (x,y,z)=(3,2,10)

則滿足 "x,y,z 為正整數 且 x^y+1=z 且x>2,y>1"

可是 p為x的質因數個數＝1，q為y的質因數個數＝1，

並不滿足p>=q+2

所以疑似 z 要有限制，或是題目條件哪裡有誤？

[MISERABLES 10]

抱歉，沒注意到我少打了個平方，

題目應該是x^y+1=z^2

[tw00088437 10]

請問這是哪兒的題目呢？

[MISERABLES 10]

不知道有沒有方法可以證明

∞............∞

∑(1/k^4)≤∑(2^k/2^4k)

k=1..........k=0

上面用"...."是因為用空白鍵似乎沒有效。

這題目是以前朋友抄來給我，最近被我翻到的。

[tw00088437 10]

右邊的(2^k/2^4k) 不是就等於(1/2^3k)嗎??

不是要挑剔,但是我一看到疑似沒化簡的就會想說是否題目有抄錯之類的...

[MISERABLES 10]

恩..沒抄錯，那個是ck3300503學長那篇裡面的，

我在打的時候也是在想說要不要化簡...

因為化簡後的長相，給人的第一個印象，感覺改變了不少。

(雖然沒化簡也沒好到哪裡去....)

[rm2slg 10]

不知道有沒有方法可以證明

∞............∞

∑(1/k^4)≤∑(2^k/2^4k)

k=1..........k=0

上面用"...."是因為用空白鍵似乎沒有效。

這題目是以前朋友抄來給我，最近被我翻到的。

如上所述...因為原式左：

1+1/2^4+1/3^4...≤1+1/2^4+1/2^4+1/2^(2*4)+1/2^8...

=1+2/2^4+4/2^8+8/2^12...=1+1/2^3+1/2^6+...

=1+1/2^(3*1)+1/2^(3*2)...=右式

故命題得証