【問題】高一多項式

[MISERABLES 10]

x^3-3x-4=0之三根為a,b,c,求(a-b)(b-c)(c-a)之值?

[weiye 10]

x^3-3x-4=0之三根為a,b,c,求(a-b)(b-c)(c-a)之值?

我下面的過程，原理很簡單，可是手續很繁雜，僅供參考，拋磚引玉，期待其他人更短的解答！

x^3-3x-4=0之三根為a,b,c ，由根與係數關係(Viète's formulas)可得

a+b+c = 0

ab+bc+ca=-3

abc=4

另外還有的關係式有

(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-3x-4

以及

a^3-3a-4=0

b^3-3b-4=0

c^3-3b-4=0

((((下面進入主題))))

第一區塊

由於 a+b+c=0 ，

所以 -a=b+c, -b=a+c, -c=a+b

因此

本題所求=

(a-b)(b-c)(c-a) = (a+(a+c)) (b+(a+b))(c+(b+c))

　　　　 　 　 = (2a+c)(2b+a)(2c+b) ....................*

第二區塊

本題所求=

(a-b)(b-c)(c-a) = (a+b+c-(2b+c))(a+b+c-(2c+a))(a+b+c-(2a+b))

　　　　 　 　= (0-(2b+c))(0-(2c+a))(0-(2a+b))

　　　　 　 　 = －(2b+c)(2c+a)(2a+b) ....................**

由 * 跟 ** 的相乘，可得

(本題所求)^2=

（(a-b)(b-c)(c-a)）^2 = －(2a+c)(2b+a)(2c+b)(2b+c)(2c+a)(2a+b)

　　　　　　　　　　..............................................***

第三區塊

利用 (x-a)(x-b)(x-c)=x^3-3x-4

將 x 以 －2a 帶入可得 －3a(2a+b)(2a+c) = (-2a)^3-3(-2a)-4

　　　　　　　　　　　　　　　　　　= －8a^3+6a-4

(利用a^3-3a-4=0 將 a^3=3a+4 帶入)　　 = 18(-2-a)

將上式左右同除 －3a

可得 (2a+b)(2a+c) = 18(-2-a) / (-3a)

同理，將以上步驟改成將 x 以 －2b 帶入，可得

= 18(-2-b) / (-3b)

同理，將以上步驟改成將 x 以 －2c 帶入，可得

(2c+a)(2c+b) = 18(-2-c) / (-3c)

將以上三式相乘，可得

(2a+b)(2a+c)(2b+a)(2b+c)(2c+a)(2c+b) = (18^3)*(-2-a)(-2-b)(-2-c) / (-27abc)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　= (18^3)*((-2)^3-3(-2)-4) / (-27*4)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　= 18^2

上式帶入 *** ，可得

(本題所求)^2=

（(a-b)(b-c)(c-a)）^2 = －(2a+c)(2b+a)(2c+b)(2b+c)(2c+a)(2a+b)

　　　　　　　 　 　 = －18^2

所以，本題所求 = (a-b)(b-c)(c-a) = ±18 i

(你沒看錯，有 i ～是虛數～)

[weiye 10]

再補充一下正負兩個都是答案的原因

設 x^3-3x-4=0 實際解出之後的三根為 x1,x2,x3 ，

若取 a = x1, b=x2, c=x3 ，則

(a-b)(b-c)(c-a) = (x1-x2)(x2-x3)(x3-x1)

若取 a = x1, b=x3, c=x2 ，則

(a-b)(b-c)(c-a) = (x1-x3)(x3-x2)(x2-x1)

　　　　 　 　 =－(x1-x2)(x2-x3)(x3-x1)

a,b,c 取值不同可能剛好導致有負號差異(剛好對調奇數次)，

所以 18 i 與 －18 i 都是答案。

[MISERABLES 10]

我之前在算的時候，

有寫到怪怪的地方(雖然這些計算是無用的)，

但因找不出計算錯誤，想知道是哪裡有問題。

一’a+b+c)(ab+bc+ca)=3abc+ba^2+cb^2+ac^2+ab^2+bc^2+ca^2=0*(-3)=0

因為3abc=12所以ba^2+cb^2+ac^2+ab^2+bc^2+ca^2=-12

二’(a-b)(b-c)(c-a)=ab^2+bc^2+ca^2-(ba^2+cb^2+ac^2)

=-(12+2(ba^2+cb^2+ac^2))

三’因為a+b+c=0所以a=-b-c,b=-c-a,c=-a-b

(a-b)(b-c)(c-a)=(-2b-c)(-2c-a)(-2a-b)

=-(8abc+2(ab^2+bc^2+ca^2)+4(ba^2+cb^2+ac^2))

=-(12+2(ba^2+cb^2+ac^2))

之後得到8abc+2(ba^2+cb^2+ac^2+ab^2+bc^2+ca^2)=12

但是8*4-24=8並不是12

找來找去還是不知道哪裡出錯了

[weiye 10]

我之前在算的時候，

有寫到怪怪的地方(雖然這些計算是無用的)，

但因找不出計算錯誤，想知道是哪裡有問題。

一’a+b+c)(ab+bc+ca)=3abc+ba^2+cb^2+ac^2+ab^2+bc^2+ca^2=0*(-3)=0

因為3abc=12所以ba^2+cb^2+ac^2+ab^2+bc^2+ca^2=-12

二’(a-b)(b-c)(c-a)=ab^2+bc^2+ca^2-(ba^2+cb^2+ac^2)

=-(12+2(ba^2+cb^2+ac^2))

三’因為a+b+c=0所以a=-b-c,b=-c-a,c=-a-b

(a-b)(b-c)(c-a)=(-2b-c)(-2c-a)(-2a-b)

=-(8abc+2(ab^2+bc^2+ca^2)+4(ba^2+cb^2+ac^2))

(-2b-c)(-2c-a)(-2a-b)乘開之後的，不是

=-(8abc+2(ab^2+bc^2+ca^2)+4(ba^2+cb^2+ac^2))

而是

=-(9abc+2(ab^2+bc^2+ca^2)+4(ba^2+cb^2+ac^2))

=-(12+2(ba^2+cb^2+ac^2))

之後得到8abc+2(ba^2+cb^2+ac^2+ab^2+bc^2+ca^2)=12

但是8*4-24=8並不是12

找來找去還是不知道哪裡出錯了

因此之後要得到的不是

8abc+2(ba^2+cb^2+ac^2+ab^2+bc^2+ca^2)=12

而是

9abc+2(ba^2+cb^2+ac^2+ab^2+bc^2+ca^2)=12

[MISERABLES 10]

這是另一個解法，因為weiye學長求出來的質要再算一次平方根，

所以我就先把要算的平方。

一’

a^2+b^2+c^2=6

abc=4

a+b+c=0

ab+bc+ca=-3

二’

(a-b)^2

=a^2-2ab+b^2

=6-c^2+2(3+(bc+ca))........因為a^2+b^2=6-c^2,3+bc+ca=-ab

=6-c^2+6+2(a+b)c

=12-3c^2.............因為a+b=-c

=3(4-c^2)

同理(b-c)^2=3(4-a^2),(c-a)^2=3(4-b^2)

三’

((a-b)(b-c)(c-a))^2

=3(4-c^2)(3)(4-a^2)(3)(4-b^2)

=27(64-16(a^2+b^2+c^2)+4((ab)^2+(bc)^2+(ca)^2)-(abc)^2)

=27(64-96+36-16)

=-(18)^2

[weiye 10]

這解法簡短漂亮，拋磚果然引到一塊好玉。 ^^~

[化塵之子 10]

我下面的過程，原理很簡單，可是手續很繁雜，僅供參考，拋磚引玉，期待其他人更短的解答！

x^3-3x-4=0之三根為a,b,c ，由根與係數關係(Viète's formulas)可得

a+b+c = 0

ab+bc+ca=-3

abc=4

另外還有的關係式有

(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-3x-4

以及

a^3-3a-4=0

b^3-3b-4=0

c^3-3b-4=0

((((下面進入主題))))

第一區塊

由於 a+b+c=0 ，

所以 -a=b+c, -b=a+c, -c=a+b

因此

本題所求=

(a-b)(b-c)(c-a) = (a+(a+c)) (b+(a+b))(c+(b+c))

　　　　 　 　 = (2a+c)(2b+a)(2c+b) ....................*

第二區塊

本題所求=

(a-b)(b-c)(c-a) = (a+b+c-(2b+c))(a+b+c-(2c+a))(a+b+c-(2a+b))

　　　　 　 　= (0-(2b+c))(0-(2c+a))(0-(2a+b))

　　　　 　 　 = －(2b+c)(2c+a)(2a+b) ....................**

由 * 跟 ** 的相乘，可得

(本題所求)^2=

（(a-b)(b-c)(c-a)）^2 = －(2a+c)(2b+a)(2c+b)(2b+c)(2c+a)(2a+b)

　　　　　　　　　　..............................................***

第三區塊

利用 (x-a)(x-b)(x-c)=x^3-3x-4

將 x 以 －2a 帶入可得 －3a(2a+b)(2a+c) = (-2a)^3-3(-2a)-4

　　　　　　　　　　　　　　　　　　= －8a^3+6a-4

(利用a^3-3a-4=0 將 a^3=3a+4 帶入)　　 = 18(-2-a)

將上式左右同除 －3a

可得 (2a+b)(2a+c) = 18(-2-a) / (-3a)

同理，將以上步驟改成將 x 以 －2b 帶入，可得

= 18(-2-b) / (-3b)

同理，將以上步驟改成將 x 以 －2c 帶入，可得

(2c+a)(2c+b) = 18(-2-c) / (-3c)

將以上三式相乘，可得

(2a+b)(2a+c)(2b+a)(2b+c)(2c+a)(2c+b) = (18^3)*(-2-a)(-2-b)(-2-c) / (-27abc)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　= (18^3)*((-2)^3-3(-2)-4) / (-27*4)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　= 18^2

上式帶入 *** ，可得

(本題所求)^2=

（(a-b)(b-c)(c-a)）^2 = －(2a+c)(2b+a)(2c+b)(2b+c)(2c+a)(2a+b)

　　　　　　　 　 　 = －18^2

所以，本題所求 = (a-b)(b-c)(c-a) = ±18 i

(你沒看錯，有 i ～是虛數～)

不得不佩服你啊...

超清楚的....

我只會用根與係數來算= =

還想不到有其他算法....

台中一中的學生果然不一樣...

斗高慚愧= =