【問題】1/2+1/4+1/8+1/16+...=1

[mythman 11]

1/2+1/4+1/8+1/16+...=1

如果慢慢算的話，會發現一定會少那1/n

但是代入公式1+x+x^2+x^3+...=1/(1-x)，會得到1

到底是等於1呢，還是不等於1??? ???

[0212169377 11]

同學～

１／２＋１／４＋。。。。。１／Ｎ當Ｎ趨近於無限大時

就會等於１～

下面那個公式～也是+到Ｘ^N當N趨近於無限大時~才通用

[白鹿 11]

同學～

１／２＋１／４＋。。。。。１／Ｎ當Ｎ趨近於無限大時

就會等於１～

下面那個公式～也是+到Ｘ^N當N趨近於無限大時~才通用

其實我也想知道，爲什麼是等於1，而不是趨近於1，或者大約等於1？

數學不是最講求精確的嗎？

[ck3300503 10]

極限不討論誤差 就像是你求導數斜率值 絕對是最正確的 因為導數求斜率 本身就是利用極限來證明

數學這門科學並不討論誤差 對就是對 錯就是錯

1/2+1/4+1/8+1/16+...不可說是忽略誤差 就是=1

[weiye 10]

其實我也想知道，爲什麼是等於1，而不是趨近於1，或者大約等於1？

數學不是最講求精確的嗎？

1. 關於極限值等於 1 的部份，這可以利用數列極限的 ε-δ 定義式來證明，有興趣的自己想想就知道對任意的正實數 ε 該取怎樣的 δ (depends on ε) 來證明前 n 項級數和所形成的數列最後取極限之後，其值為 1 ，也就是對於任意的開區間(1-ε,1+ε) 都可以保證在第 δ(which depends on ε) 項之後，的數列值落在 開區間(1-ε,1+ε) 之內，然而因為 ε 是任意正實數值，可以無窮小，因此可該前 n 項和所形成的數列的極限值為 1

2. 我想有些人不能理解的地方在於 "1/2+1/4+1/8+1/16+... "並不是有限項和，他所表示的是

lim(1/2+1/4+1/8+1/16+...+1/2^n)

n→∞

也就是取極限之後的結果，也就是趨近的對象，所以嚴謹的極限定義要由 ε-δ 定義式來看。(我們說極限值等於 1 ，而不是說極限值趨近於1，或是極限值大約是1，因為"極限值"三個字本身就表示取完極限之後的結果，亦即趨近的對象)。

[清風明月 10]

這要討論極限值當初是怎麼定義的

極限值是討論一個數或一個函數會怎麼樣變化

當他變化趨近穩定　也就是一個定值時

我們把"它趨近的那個定值"稱為極限值

那麼這是定義的話　極限值的"="就是指那"趨近的定值"

跟1+1=2的"="是否一樣　值得玩味一下

[weiye 10]

這要討論極限值當初是怎麼定義的

極限值是討論一個數或一個函數會怎麼樣變化

當他變化趨近穩定　也就是一個定值時

我們把"它趨近的那個定值"稱為極限值

那麼這是定義的話　極限值的"="就是指那"趨近的定值"

跟1+1=2的"="是否一樣　值得玩味一下

嗯嗯，值得探討

由於每個人對於 = 的認知不同，我先說說我的

1+1 = 2 的 "=" ，對我而言是後繼元素的定義，

也就是說 2+1=3 表示 2 的後繼元素是 3，

而 a+1=b 表示 a 的後繼元素是 b ，然而如果有人要定義

1+1 = 3, 3+1=2，也只是把他的公設系統裡的 2,3 與我的公設系統裡的 2,3 作名稱上的代換。

至於

lim f(x) = L

n→∞

裡面的 "=" ，對我而就是滿足極限 ε-δ 定義式的 f(x) 以及 L ，因為我可以認同 ε-δ 定義式所要傳達它本身與 limit 的關係。

所以對我而言，1+1=2 與極限值的"="的確是建構在不同的定義式上，然而相同點是，他們都是建構在我可以認同的定義式上(對於"定義"，我只能用到用到"認同"或是"感受"、"體會"等詞，再多的解釋對於定義而言，也只是解釋我對於該定義在我自己公設系統裡的"感受"而已:))。

[z8321260 10]

或許可以從圖形中的＂漸近線＂討論

對於樓上及樓上的樓上的大大的想法我覺得很有趣

我都是把lim f(x) = L　式子唸成

　　　　n→∞

＂limit f of x n趨近無窮大， f of x趨近於L＂

因為其實也沒有人知道∞到底是多大

我們知道的是　當這個數字越大

函數會越接近某個值

個人的意見　給各位參考><~~

[九天驚虹 10]

或許可以從圖形中的＂漸近線＂討論

對於樓上及樓上的樓上的大大的想法我覺得很有趣

我都是把lim f(x) = L　式子唸成

　　　　n→∞

＂limit f of x n趨近無窮大， f of x趨近於L＂

因為其實也沒有人知道∞到底是多大

我們知道的是　當這個數字越大

函數會越接近某個值

個人的意見　給各位參考><~~

敘述的還不夠嚴謹

∞並不是一個數字

[白鹿 11]

然而如果有人要定義

1+1 = 3, 3+1=2，也只是把他的公設系統裡的 2,3 與我的公設系統裡的 2,3 作名稱上的代換。

也有可能是"+"或者"="的功能代換。

[清風明月 10]

∞並非定值　另外提一下「趨近」　也就是"→"這個符號的意思

當我們說"x→0"表示有兩種意思

1.　x可以無限制的靠近0

2.　x≠0

所以lim不能夠那樣子念　因為"趨近"跟"等於"是兩碼子事

而且f(x)如果跟n沒有關係的話那就枉然

通常跟n有關是要用數列<An>

[~~~建民二代~~~~ 10]

喔喔

[五月飛雪 11]

其實我也想知道，爲什麼是等於1，而不是趨近於1，或者大約等於1？

數學不是最講求精確的嗎？

數學並非只講精確

很多時候都只求近似解

[kshs920742 10]

最簡單的例子

你們高中生會響

0.99999999(9循環)

根一到底一不一樣