【問題】高一數學

[北北 10]

F(X)=(X-2.1)^2+(X-2.2)^2+(X-2.3)^2+(X-3.7)^2+(X-3.8)^2+(X-3.9)^2

^2代表平方

求Y為最小值時X.Y各為多少

[清風明月 10]

這個應該是f(x)的最小值吧....

因為你又沒說y=f(x).......XD

好啦　這題你有什麼想法呢?

照理來說應該都會想到展開然後配方吧?

其實這也是個辦法　只是比較慢

用微分　現在也還沒教　怎麼辦呢?

不如試著從原有的方法(配方)去發現新的規則

然後將其記下來　會比較好做

f(x)=6x^2-2(2.1+2.2+2.3+3.7+3.8+3.9)x+(2.1)^2+(2.2)^2+(2.3)^2+(3.7)^2+(3.8)^2+(3.9)^2

這個時候經過配方顯然可以知道x=3時有最大值

那麼3恰為這六個數的平均數

(也就是以後遇到這種題目把算數平均數帶入即可)

把3帶回就有f(x)的最小值

[清風明月 10]

至於這種題目為什麼平均數會對呢?

首先我們來觀察一下二次函數

f(x)=ax^2+bx+c

　=a[x+(b/2a)]^2+(4ac-b^2)/4a

表示x= -b/2a　時　f(x)會有最小值

那麼回到我們剛才的題型來看

如果是像(x-a1)^2+(x-a2)^2+(x-a3)^2+.....+(x-an)^2

展開來看.......得到nx^2-2(a1+a2+a3+....+an)x+(a1^2+a2^2+a3^3+....+an^2)

此時如果要讓f(x)有最小值

x= -[-2(a1+a2+a3+....+an)]/2n

　=(a1+a2+a3+....+an)/n

所以要帶算數平均數

[北北 10]

我的方法是用推的

X一定為正~因為如果為負的話括號內的值平方會更大~而且括號之間都是相加的

然後我就觀察2.1 2.2 2.3

如果X帶2進去這3個括號剛好是0.1 0.2 0.3

X帶4進去出來的值跟X帶2進去是一樣的

因為2次函數拋物線圖形是對稱

且此圖形開口向上

得知X=3時為最低點

不知道這樣想法有沒有瑕疵或錯誤

不過當然

妳的想法比較簡單....但是我們老師沒教過XD 一開始想不到

[九天驚虹 10]

F(X)=(X-2.1)^2+(X-2.2)^2+(X-2.3)^2+(X-3.7)^2+(X-3.8)^2+(X-3.9)^2

^2代表平方

求Y為最小值時X.Y各為多少

觀察一下這個方程式 大概就能 猜 出答案了

要使其值最小 就讓每一項的值盡可能的縮小

而 縮小的方法便是 x與x要扣掉的數 盡量的接近(最佳的狀況是0 i.e. x=x要扣掉的數)

但每一項的x要扣的值不一 所要取的x值 並不能單考慮一項

而是必須要照顧到每一項(不能偏心)

因此 很明顯 要找個x必須是 同時接近每一項x所扣掉的數

所以知道要取平均 又其每一項的地位都是相同的 並沒有哪一項比較特殊

所以取其算術平均數 (不需要加權)

[清風明月 10]

我的方法是用推的

X一定為正~因為如果為負的話括號內的值平方會更大~而且括號之間都是相加的

然後我就觀察2.1 2.2 2.3

如果X帶2進去這3個括號剛好是0.1 0.2 0.3

X帶4進去出來的值跟X帶2進去是一樣的

因為2次函數拋物線圖形是對稱

且此圖形開口向上

得知X=3時為最低點

不知道這樣想法有沒有瑕疵或錯誤

不過當然

妳的想法比較簡單....但是我們老師沒教過XD 一開始想不到

想法沒錯　因為在二次函數中如果f(a)=f(b)　那麼對稱軸是x=(a+b)/2

我想問一下　教材雖不太一樣　不過配方法應該還是國中的東西吧><?

一般而言硬爆是個辦法　對這題來講是不錯的方式

不過小心常常硬爆可是會有報應的XD

這個只是稍做一點包裝而已　只是f(x)的極值直接用配方去算太暴力

配方是先求出有極值存在時　x的值是多少　再將x帶回原函數比較好處理

觀察一下這個方程式 大概就能 猜 出答案了

要使其值最小 就讓每一項的值盡可能的縮小

而 縮小的方法便是 x與x要扣掉的數 盡量的接近(最佳的狀況是0 i.e. x=x要扣掉的數)

但每一項的x要扣的值不一 所要取的x值 並不能單考慮一項

而是必須要照顧到每一項(不能偏心)

因此 很明顯 要找個x必須是 同時接近每一項x所扣掉的數

所以知道要取平均 又其每一項的地位都是相同的 並沒有哪一項比較特殊

所以取其算術平均數 (不需要加權)

那麼如果換成是像這樣

f(x)=|x-2.1|+|x-2.2|+|x-2.3|+|x-3.7|+|x-3.8|+|x-3.9|

的極值　您會怎麼解釋呢?

[北北 10]

想法沒錯　因為在二次函數中如果f(a)=f(b)　那麼對稱軸是x=(a+b)/2

我想問一下　教材雖不太一樣　不過配方法應該還是國中的東西吧><?

一般而言硬爆是個辦法　對這題來講是不錯的方式

不過小心常常硬爆可是會有報應的XD

例如什麼題目不能硬爆呢??

[清風明月 10]

如2sky問的多項式問題

你再怎麼暴力也不可能一個個代值進去

畢竟實數是無限多個　不可能保證自己帶進去的數值一定最大或最小

而且那一題不會像這個有顯而易見的對稱軸可以找

必須用到其他工具來幫忙