【問題】2000年雲嘉地區的數學競試題目Orz 有請高手了!

[joey14i 10]

設n為大於五的整數，假設(a,b)為直線y=0,x=0,x=n,and y=n 所形

成的正方形上的格子點(包含邊界)，試問a+b為5的倍數的點有多少

個?

[KID1412 10]

有點搞不太清楚，先提各想法!

令(a,b)為直線x+y=5k上的一點(k 屬於整數)

所求格子點總數:

6+11+...+(6+5(k -1))=(5k+7)k/2

其中k=[n/5]

這樣有錯嗎?

我只考慮一半 ....抱歉抱歉

[joey14i 10]

樓上的學長

我怎麼覺得怪怪的阿

你是怎麼知道k and n的關係阿?

可否請你跟我講嗎?

我有點不太清楚^^

多謝啦

[KID1412 10]

彌補過失，做一下n=5k--->k=n/5

左下角

x+y=0,5,10,15......5k

x+y=0有1個格子點

x+y=5有6個格子點

x+y=10有11個格子點

.

.

.

.

.

x+y=5k有5k+1個格子點

加起來!

1+6+11+...+(1+5k)=(5k+2)(k+1)/2

右上角對稱左下角所以也是

1+6+11+...+(1+5k)=(5k+2)(k+1)/2

最後減去重複算的x+y=5k共5k+1個格子點

總共是(5k+2)(k+1) -(5k+1)=(n+2)(n/5+1)-(n+1)個格子點

剩下大致就如同樓下學長所提供的詳解了!

[mapleaf 11]

:E

[joey14i 10]

請問一下樓上的學長

為什麼 一開始要先用高斯符號阿?

請原諒我的無知Orz

[清新旋律 10]

樓上不妨帶n=6看看

應該要是10，但您的公式算出來是9噢

把(0.0)考慮進去就行了

此外不懂為什麼不一開始假設時將兩種情況合併

目前只發現，他是下面這個數列的所對應的級數

1,0,0, 2,2,3,2,2, 4,4,5,4,4, 6,6,7,6,6, 8,8,9,8,8, .....

只要把他化成表示式就完成了，但我不行了Orz......

[mapleaf 11]

請問一下樓上的學長

為什麼 一開始要先用高斯符號阿?

請原諒我的無知Orz

以上圖說明,左下角用紅色表示, 右上角用藍色表示, 因為兩者並不一定對稱,故分開討論

例如 n=13 時

k=[13/5]=2表示紅色有兩條

代入上述結果

k(2n-5k+2)+1=2(36-10+2)+1=37

至於狀況二(n為5的倍數)

其實更簡單

對角線的1條先算, 左下與右上是對稱 ,故算出左下乘2加對角線的點數即可

[joey14i 10]

謝謝學長們^^

小弟不才

以後還請多多指教

[mapleaf 11]

:E

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