【問題】關於卡丹公式?!

[knight9562 10]

我想請問各位大大三次方程式(卡丹公式)的內容與證明方式 希望各位大大附加例題說明

感謝!!xd

[2sky 10]

x^3+px=q

公式解

x={[(p/3)^3+(q/2)^2]^1/2+q/2}^1/3

-{[(p/3)^3+(q/2)^2]^1/2-q/2}^1/3

上面就是卡丹公式解

至於有二次項時怎麼辦

可以用變數變換的方法把二次項消掉

例如原本的式子是

x^3+ax^2+bx+c=0

令x=y-a/3

則原式就會變成

(y-a/3)^3+a(y-a/3)^2+b(y-a/3)+c=0

(y^3-ay^2+a^2y/3-a^3/27)+a(y^2-2ay/3+a^2/9)+b(y-a/3)+c=0

y^3+(b-a^2/3)y+(c+2a^3/27-ab/3)=0

如此一來二次項就不見了

就可以用卡丹公式求得y

再用x=y-a/3得到x

奇摩知識+找到的 感覺好難用.....

[knight9562 10]

看不懂....

[weiye 10]

印象中卡丹的一元三次公式，

在本版以前有討論過，

也有過詳細的証明，

可以善用搜尋找看看！

[一企鵝一 10]

x^3 + ax^2 + bx + c = 0

將 x 由變數 y - a/3 代替..會得到

(y - a/3)^3 + a(y - a/3)^2 + b(y - a/3) + c = 0 ...(二次向不見了)

展開後會是:

y^3 + (b - a^2 /3 ) y + (c - ab/3 + 2a^3 /27 ) = 0

把 b - a^2 /3 換成 p , c - ab/3 + 2a^3 /27 換成 q

則會變成

y^3 + py + q = 0 ....(1)

又令 y = u + v

由三次展開式

(u + v )^3 = u^3 + v^3 + 3uv(u+v)

可知 (u + v )^3 -3uv(u+v) -( u^3 + v^3) = 0

u+v 由 y 代回 :

y^3 -3uv y - ( u^3 + v^3) = 0

江此式和上方 (1) 式比較

p = -3uv , q = - ( u^3 + v^3)

u^3 * v^3 = -p^3 / 27 , u^3 + v^3 = -q

u三方成以v三方 , u三方加v三方

有兩根和兩根積的感覺

於是可以利用 兩根和兩根積 找到二次方程式

t^2 + qt - p^3 / 27 = 0

p,q 是由 原先方程式 係數a,b,c 轉換出來的

為已知數

所以可以由此求出 t 之兩根

即 u^3 和 v^3

利用 omega (ω)的觀念

即可求出 u 和 v

共9種組合

由於我們 a b c 皆為實係數

所以p,q 也都是實係數..

由

p = -3uv 為實數

q = - ( u^3 + v^3) 為實數

則可以刪去6組答案

剩下的三組 u 和 v

則代回

y = u + v

x = y - a/3

[深海心情 10]

給電腦用的吧

我覺得這種問題還是自己慢慢算最快了

被公式好麻煩喔