【討論】轉動的題目

[john668 10]

這是最近某個競賽的考題

我覺得寫過有助於觀念的提升

各位可以做做看

題目:

一質量M，半徑R的均勻圓環，平放於一光滑水平面上，有一質量m的小蟲沿圓環邊緣，

從靜止開始以相對圓環等速率V逆時針方向爬行，求圓環及小蟲對地的速率。

版主:大家請不要怕錯誤 勇於發表自己的想法跟解法吧

這樣子才會進步的 加油加油

[風幽靈 10]

蟲：V*(M/M+m)

圓環：V*(m/m+M)

質心不會動，動量守恆

[john668 10]

答案不太對哦~

注意 是沿著圓環邊逆時針轉

[清純小百合 10]

都沒人要做 版主我來喇賽好了....

m*V=M*VM+m*Vm

VM-Vm=V

VM=(2m/M+m)*V

Vm=(m-M/M+m)*V

不知道對不對 哈哈 錯的話請講

[john668 10]

都沒人要做 版主我來喇賽好了....

m*V=M*VM+m*Vm

VM-Vm=V

VM=(2m/M+m)*V

Vm=(m-M/M+m)*V

不知道對不對 哈哈 錯的話請講

題目說從靜止開始啦= =

所以整體動量的確是0

[風幽靈 10]

版主寫什麼我看不懂...

[john668 10]

版主寫什麼我看不懂...

好吧= =

既然看不懂就直接講了QQ

你的解法解出來角動量不守恆

[Esther Chang 10]

怎麼覺得跟R沒關係..

蟲蟲:　(M/M+m)*V

圓盤:　(m/M+m)*V

是嗎？？（答案對嗎？）

（我再想想．．．看看哪裡我有漏．．．）

[l1026513 10]

為什麼沒有小蟲對圓環的摩擦係數呢？

[風幽靈 10]

圓環在自轉...角動量守恆和質心不動

都是0呀...

[*極地狐* 10]

唔。。。

我在想

蟲對圓速度是Ｖ，那麼角速度相對就是ｗ

設圓角速度ｗ'，那麼實際上蟲對地就是ｗ'＋ｗ

接著，角動量守衡

r^2*m*(ｗ'-ｗ)=r^2*M*w'

因此化為比例式會變成

ｗ'：w=M-m：m

就可算出蟲速度=(M/M-m)V+V

圓速度為(-1)(m/M-m)V

不知道想法有沒有正確？

於1/3 23:45 修正.....

[清純小百合 10]

好吧= =

既然看不懂就直接講了QQ

你的解法解出來角動量不守恆

m*V=M*VM+m*Vm (動量守衡)

VM-Vm=V (相對速度=V)

VM=(2m/M+m)*V

Vm=(m-M/M+m)*V

角動量要守衡 這倒提醒了我 哈哈...

老實說我一直沒辦法想像題目的情境... 我一直以為角動量不守衡....

後來發現那是內力...

囧

[john668 10]

圓環在自轉...角動量守恆和質心不動

都是0呀...

角動量有方向喔

m*V=M*VM+m*Vm (動量守衡)

式中m*V是指全部的動量嗎 題目說從靜止開始 且不受外力 所以總動量應該為0

蟲對圓速度是Ｖ，那麼角速度相對就是ｗ

設圓角速度ｗ'，那麼實際上蟲對地就是ｗ'＋ｗ

接著，角動量守衡

r^2*m*(ｗ+ｗ')=r^2*M*w

因此化為比例式會變成

ｗ+ｗ'：w=M：m

就可算出蟲速度=(m/M+m)V+V

圓速度為(-1)(m/M+m)V

不知道想法有沒有正確？

注意角動量守恆所對應的點喔~

另外 動量沒守恆

我想答案應該已經呼之欲出了 @@

要公佈答案嗎 還是各位還想繼續玩

[清純小百合 10]

角動量有方向喔

式中m*V是指全部的動量嗎 題目說從靜止開始 且不受外力 所以總動量應該為0

注意角動量守恆所對應的點喔~

另外 動量沒守恆

我想答案應該已經呼之欲出了 @@

要公佈答案嗎 還是各位還想繼續玩

先不要公佈 我還想再玩 我太久沒解題了 不過我要出門了 再保留一下吧 我再發一篇就好....

其他人繼續解題兼發表意見喔

[風幽靈 10]

小蟲：VM/(2m+M)

圓環：Vm/(2M+m)

圓環順時鐘自轉並逆時鐘繞質心公轉，而小蟲逆時鐘繞質心公轉

(晚自習迫不及待地偷用學校電腦@@)

[john668 10]

小蟲：VM/(2m+M)

圓環：Vm/(2M+m)

圓環順時鐘自轉並逆時鐘繞質心公轉，而小蟲逆時鐘繞質心公轉

(晚自習迫不及待地偷用學校電腦@@)

照道理說你已經知道了

可是答案你是不是有打錯一個地方

[風幽靈 10]

我昨天因為趕時間，沒有真的去算圓環的速度，現在發現動量沒守恆(現在還是滿趕的，猜猜看@@)

V2m/(2m+M)

=======修改

嗯...確定了

[Esther Chang 10]

為什麼大家的答案讓我找不到頭緒

我還是覺得我的答案沒錯...

我有少考慮到什麼嗎?

蟲蟲:　(M/M+m)*V

圓盤:　(m/M+m)*V

[風幽靈 10]

角動量要守恆，你只是讓質心不動而已

"圓環順時鐘自轉並逆時鐘繞質心公轉，而小蟲逆時鐘繞質心公轉"

這是整個運動

[清純小百合 10]

角動量要守恆，你只是讓質心不動而已

"圓環順時鐘自轉並逆時鐘繞質心公轉，而小蟲逆時鐘繞質心公轉"

這是整個運動

如何確定質心??

質心應該不在圓環的圓心....

老實說我無法想像整個運動狀態....

如果蟲對圓環施力 地面光滑 不會直接移動嗎??

[john668 10]

是會直接移動

但是系統質心是在蟲與圓心之間

對質心而言不受外力角動量守恆

若蟲瞬時向上 圓瞬時向下

相對於質心 會有角動量 但兩者方向相同

表示必須要有另一個角動量來抵消

此即圓環順時針自轉

或著是你這樣想 有一個人在圓環一邊向切線施力

此圓環受力會有加速度 但也有受到力矩 所以也會轉動

正確答案是

圓環對地mV/(2m+M)

蟲對地MV/(2m+M)

這個題目有三未知 蟲速 轉速 圓質心速

以三式 相對速度V 動量守恆 角動量守恆聯立解得

相對速度V 可能有人會問兩者相減為何不是V

但實際上是還要算圓環的轉動 轉速為mV/(2m+M)R對圓心

(題目是原本就沒有要求圓環的轉速 不是我心機啊@@")

再來有關於角動量守恆 這裡要用的東西 如果沒學過 可能不太容易想到

對於質心角動量守恆 所以圓環對質心與蟲對質心角動量和為0

蟲的角動量大家都會 再來是圓心對質心的角動量

角動量是向量 我們可以將這個角動量看成(圓環對圓心)+(圓心對質心)

這麼一來就可以計算了 或著是將之看為重疊原理即可

[清純小百合 10]

是會直接移動

但是系統質心是在蟲與圓心之間

對質心而言不受外力角動量守恆

若蟲瞬時向上 圓瞬時向下

相對於質心 會有角動量 但兩者方向相同

表示必須要有另一個角動量來抵消

此即圓環順時針自轉

或著是你這樣想 有一個人在圓環一邊向切線施力

此圓環受力會有加速度 但也有受到力矩 所以也會轉動

正確答案是

圓環對地mV/(2m+M)

蟲對地MV/(2m+M)

這個題目有三未知 蟲速 轉速 圓質心速

以三式 相對速度V 動量守恆 角動量守恆聯立解得

相對速度V 可能有人會問兩者相減為何不是V

但實際上是還要算圓環的轉動 轉速為mV/(2m+M)R對圓心

(題目是原本就沒有要求圓環的轉速 不是我心機啊@@")

再來有關於角動量守恆 這裡要用的東西 如果沒學過 可能不太容易想到

對於質心角動量守恆 所以圓環對質心與蟲對質心角動量和為0

蟲的角動量大家都會 再來是圓心對質心的角動量

角動量是向量 我們可以將這個角動量看成(圓環對圓心)+(圓心對質心)

這麼一來就可以計算了 或著是將之看為重疊原理即可

照圖來看 質心應該是在圓心跟蟲之間 以那點為支點 蟲速跟圓速反向 角動量應該是反向

且轉動的方向應該是順時針(若設蟲是往前跑 圓往後 俯瞰應該是順時鐘...)

這樣的話 蟲的角動量怎麼會和圓環的角動量同向??

[風幽靈 10]

圓環有兩個角動量，而圓環公轉與蟲公轉角速度一樣(因為質心不能動)

所以是圓環自轉角動量=圓環和蟲公轉角動量<=我從這裡開始算的

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我還是猜錯了@@，我在猜的時候又忘記有一部份的動量是分給圓環自轉的@@

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to樓主：你還有這種題目嗎？我現在好飢渴...

[清純小百合 10]

我又亂了 告訴我完整的運動狀態!!

畫個圖吧 哪個好心的大大畫一下...

圓環公轉與蟲公轉角速度一樣??這跟質心不能動有關??

[風幽靈 10]

想一個簡單的例子：太空中的雙星運動，那兩個恆星角速度一樣，而它們的質心因此不會動

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11點再來，玩遊戲去~