【教學】內積的由來

[小申 10]

之前在某個主題說要講的現在我自己重開一個主題來說好了

如圖

據W(純量)=F(向量)*S(向量)

現在我們要求得A方向的功

B向量的力我們只要求在A方向的分力(B*COSθ)

因為結果是純量,去掉其方向性(加絕對值)

所以W(純量)=A的絕對值*B的絕對值*COSθ

這便是內積的由來,可以聽的懂嗎?

外積的話有時間再講

[清風明月 10]

這樣的說法跟學校老師告訴我的沒有什麼差別

就是把W=FS拿來用　然後用的是投影量

但是內積的意義跟來源應該不只是用於或源於處理物理問題

就像當初三角函數並非源於解決力的分析

外積並非源於解決力矩跟轉動　而是找公垂向量

[小申 10]

沒有差別阿....

算了,讓不知道的人知道一下

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我記得沒錯的話

內積的出現好像就是為了W=FS的計算

跟牛頓他們發明微積分是一樣的

[清風明月 10]

唔........那還真是酷炫啊

不過微積分也都有其數學意義

微分是求切線斜率

積分是求曲線下跟x軸圍成的面積

[磁單極 10]

你的問題我問過物理老師了(不過是滿久以前的事了)

我認為他是錯的

他個人人認為

內積外積都是源於物理的需數的概念似乎也是

至於當初是怎麼發現的

他的說法是

一開使有人先發現物理上的問題

然後想辦法用數學來解釋

此解釋方法必須是有系統且通用的

然後就有人發明了內積外積等理論來解釋

而這用法因為屢試不爽的關係一直沿用到現在(根據他說的 能量守衡就是)

但是我總覺得這種方式來的理論有點不合邏輯(若p則q的精神)

就像因為有電流跟磁場

其外積就"剛好"等於受力

這種先看到結果再找出理論的作法我始終覺得怪怪的

而我的數學老師(補習班的)則有另一番解釋

他個人認為是先有數學理論

但是其理論剛被發展出來時

數學家們不知道它代表什麼意義

而後來物理實驗或是物理理論

發現新的東西後

再用當初讓令人摸不著頭緒的數學理論來解釋

然後"碰巧"發現合用

但是我還是沒辦法說明為什麼這些理論會合用

不過我猜

這就像是為什麼加法在物理終中是成立的吧

[清風明月 10]

你的問題我問過物理老師了(不過是滿久以前的事了)

我認為他是錯的

他個人人認為

內積外積都是源於物理的需數的概念似乎也是

至於當初是怎麼發現的

他的說法是

一開使有人先發現物理上的問題

然後想辦法用數學來解釋

此解釋方法必須是有系統且通用的

然後就有人發明了內積外積等理論

而這用法因為屢試不爽的關係一直沿用到現在

但是我總覺得這種方式來的理論有點不合邏輯(若p則q的精神)

就像因為有電流跟磁場

其外積就"剛好"等於受力

這種先看到結果再找出理論的作法我始終覺得怪怪的

邏輯上不通............而且到最後還是把數學的定義拿來搪塞物理的意義與本質

另外　載流導線在磁場中受力的方向不是巧合　也不是"剛好"為外積

這是因為磁力線相抵消跟相加成造成一端的磁場會比另一端的磁場大

(因為我們說磁場強度跟磁力線的疏密程度有關)

至於安培右手定則我還沒開始研究　也許這是一種經驗法則也不一定

[磁單極 10]

邏輯上不通............而且到最後還是把數學的定義拿來搪塞物理的意義與本質

嗯我後來有改過回覆了

你可能沒看到

另外　載流導線在磁場中受力的方向不是巧合　也不是"剛好"為外積

這是因為磁力線相抵消跟相加成造成一端的磁場會比另一端的磁場大

(因為我們說磁場強度跟磁力線的疏密程度有關)至於安培右手定則我還沒開始研究　也許這是一種經驗法則也不一定

可能你有點誤會我說的"剛好"的意思了

方向雖然不是巧合

那大大小呢

他的大小就是向量積的大小吧

但是為什麼呢

再看看物理公式的形式

似乎可分成導出來的

跟實驗來的

而我要怎麼用數學方法把這些實驗得來的理論推導出來呢

還有 經驗法則是啥意思

YES!!!我滿18了

[磁單極 10]

向量積大小和面積有關

我再像

磁場的畢歐-沙伐定理中能不能找到相對應的面積呢

[lucier 10]

內積的數學意義是要在線性空間表達歐式幾何的性質。

[夢境的行旅 10]

必歐‧沙伐我覺得是高中物理裡面最「水」（臺語）的公式了。不過那是外積吧，把主題改成「內積與外積的由來」吧。這是物理部份

至於數學部份，誰研究過「四元數（1,i,j,k）」和矩陣以及外積的關係？

[藍色貍貓 10]

內積的數學意義是要在線性空間表達歐式幾何的性質。

http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/ar/ar_wy_geo_05/

項武義的教授文章說明的很清楚

也可以去wiki查一下Euclidean space

所以內積應該不是我們在高中數學或物理中想的這樣(其實高中數學課本很多向量性質根本沒有證明)

應該是定義歐幾里得空間的重要結構

沒有內積 在歐幾里得空間中

就沒有長度 距離 角度.

同時 我們發現 我們在解線性組合的時候

那時候還沒有引用內積

卻能解出線性組合出來

這是值得觀察的現象

我覺得和仿射變換與投影幾何有關係

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我之前很困惑

怎麼保證向量的運算性質和歐式系統是相容

例如 定義了內積與等等運算律 餘弦定理一下就證明出來了(沒有循環論證)

但是歐幾里得在幾何原本不知道費了多少心思

引進了平行公設 證明1.29 1.46 再證明出畢氏定理

才證明出來(第II卷命題12 13)

後來才發現

原來向量代數的運算性質其實就是表達了歐幾里得空間

(不過創造向量代數的是Heaviside ,物理學家

和四元數分庭抗禮)

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另外 力 符合向量加法

我記得在牛頓的自然哲學之數學原理好像有論證過(不確定)

哲學家康德在 自然科學之形上學基礎 也證明過(動量學界說,定理5)

(ps.康得在自然科學也很有本事 例如他對太陽系的形成的解釋叫做康德-拉普拉斯假設 )

但是我不確定證明是否有意義

說不定就像歐幾里得證明平面和平面若相交只可能是一條直線一樣無意義.