【數學】帥氏逆定理的証明

[學弟匪 10]

如題

本人想了很久想不出來

可有數學高手願意提供嗎

[清風明月 10]

我忘記順序了=　=

是給比例→共點

還是共點→知比例啊?

[易水寒 10]

我想同學還是寫一下自己的初步想法比較好

這樣大家會比較樂意為你解答!

[Sathla 10]

我想知道這是什麼東西... 我太無知了

不會是孟氏或是西瓦定理吧???

[ivynevergiveup 10]

帥氏定理又稱西瓦定理(Ceva)→我習慣稱西瓦啦!!!

這是討論三條直線在什麼情況下會共點的定理

而西瓦逆定理：

在三角形ABC的三條邊所在直線BC.CA.AB上分別取D.E.F三點，

使得(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1，

則三條直線AD.BE.CF互相平行或交於同ㄧ點(沒有圖好難解釋QQ")

(1)

設直線BE與直線CF交於O點

連AO並延長與BC交於D'

因為直線BE.直線CF直線AO交於O點

所以滿足西瓦定理：

(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1

又前題

(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1

所以BD'/D'C=BD/DC

因為D.D'均在BC上，D=D'

(2)

若BE平行CF

三角形AEB 全等於 三角形ACF

所以 AE/AC=AB/AF

(這時左右各加1，神奇的事發生了...)→(AE/AC) +1=(AB/AF) +1

→CE/AC=BF/AF

所以(AF/FB) *(BD/DC)*(CE/EA)=1

(AC/CE)*(BD/DC)*(CE/EA)=1

所以BD/DC=EA/AC

所以AD平行BE平行CF...

[清風明月 10]

唔.......學妹好樣的=　=

同一法證明.......我才剛要打而已......|||

[咖啡店店長 10]

我想知道這是什麼東西... 我太無知了

不會是孟氏或是西瓦定理吧???

我想是西瓦逆定理

這不畫圖有點難解釋(首先要先畫出三角形ABC)

第一種:令D在BC邊上,令BE與CF交於O點,延長AO交BC於D'點

由西瓦定理AF/FB x BD'/D'C x CE/EA=1

但已知:AF/FB x BD/DC x CE/EA=1

比較二式:BD'/D'C=BD/DC

而D,D'皆在BC邊上,所以D=D',即AD,BE,CF三線共點

第二種:令BE//CF=>三角形ACF~三角形AEB

AB/AF=AE/AC => (AB/AF)+1=(AE/AC)+1 =>BF/AF=EC/AC...1式

根據西瓦定理AF/FB x BD/DC x CE/EA=1...2式

將1式代入2式,得BD/DC=EA/AC =>AD//EB//CF

大概是這樣

[咖啡店店長 10]

帥氏定理又稱西瓦定理(Ceva)→我習慣稱西瓦啦!!!

這是討論三條直線在什麼情況下會共點的定理

而西瓦逆定理：

在三角形ABC的三條邊所在直線BC.CA.AB上分別取D.E.F三點，

使得(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1，

則三條直線AD.BE.CF互相平行或交於同ㄧ點(沒有圖好難解釋QQ")

(1)

設直線BE與直線CF交於O點

連AO並延長與BC交於D'

因為直線BE.直線CF直線AO交於O點

所以滿足西瓦定理：

(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1

又前題

(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1

所以BD'/D'C=BD/DC

因為D.D'均在BC上，D=D'

(2)

若BE平行CF

三角形AEB 全等於 三角形ACF

所以 AE/AC=AB/AF

(這時左右各加1，神奇的事發生了...)→(AE/AC) +1=(AB/AF) +1

→CE/AC=BF/AF

所以(AF/FB) *(BD/DC)*(CE/EA)=1

(AC/CE)*(BD/DC)*(CE/EA)=1

所以BD/DC=EA/AC

所以AD平行BE平行CF...

打完之後發現有人打得比我快XD

[ivynevergiveup 10]

哈哈

反正講的東西都一樣

沒畫圖真的很難解釋ˇˇ

[學弟匪 10]

感謝各位同學的幫忙

你們的大恩大德我永生難忘..........XD