【教學】求解一大陸奧數題

[凯伢子 10]

某三位數，將其個位、十位、百位元上的三個數字重新排列成，得出的最大三位數減最小三位數之差為原三位數。求解此三位數數值幾何？（需寫出解答過程）

[蒼天一好人 10]

令此數為100x+10y+z y,z屬於A{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} x屬於C=A-B{0}

1.設x>y>z

則重新排列後,最大為100x+10y+z；最小為100z+10y+x

=＞ 100z+10y+x=0

=＞ x=0 (不合), y=0, z=0

2.設x>z>y

則重新排列後,最大為100x+10z+y；最小為100y+10z+x

=＞ 99(x-y)=100x+10y+z

=＞ x+109y+z=0

=＞ x=0 (不合), y=0, z=0

3.設y>x>z

則重新排列後,最大為100y+10x+z；最小為100z+10x+y

=＞ 99(y-z)=100x+10y+z

=＞ 100(x+z)-89y=0

令x+z=m m屬於N

=＞ 100m-89y=0

=＞ 之最小正整數解為m=89, y=100 (不合)

4.設y>z>x

則重新排列後,最大為100y+10z+x；最小為100x+10z+y

=＞ 99(y-x)=100x+10y+z

=＞ 199x-89y+z=0

=＞ <1> x=1, y=3, z=68 (不合)

　 <2> x=2, y=5, z=47 (不合)

　 <3> x=3, y=7, z=26 (不合)

　 <4> x=4, y=9, z=5 #

　 (<5>以後之y,z不屬於A,略)

5.設z>x>y

則重新排列後,最大為100z+10x+y；最小為100y+10x+z

=＞ 99(z-y)=100x+10y+z

=＞ 100x+109y-98z=0

=＞ 100x+109y=98z

=＞ 100x=100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900

　 109y=0, 109, 218, 327, 436, 545, 654, 763, 872, 981

　 98z=0, 98, 196, 294, 392, 490, 588, 686, 784, 882

@由於100x末二位均為0

　所以觀察109y與98z之末二位即可

～發現其並無相同者

則不存在x屬於C, y,z屬於A使方程式成立

6.設z>y>x

則重新排列後,最大為100z+10y+x；最小為100x+10y+z

=＞ 99(z-x)=100x+10y+z

=＞ 199x+10y-98z=0

=＞ 199x+10y=98z

=＞ 199x=199, 398, 597, 796, 995, 1194, 1393, 1592, 1791

　 10y=0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90

　 98z=0, 98, 196, 294, 392, 490, 588, 686, 784, 882

@由於10y的個位均為0

　所以觀察199x與98z之個位即可

＃得<1> x=2, z=1, y=-30 (不合)

　　<2> x=2, z=6, y=19 (不合)

　　<3> x=4, z=2, y=-60 (不合)

　　<4> x=4, z=7, y=-11 (不合)

　　<5> x=6, z=3, y=-90 (不合)

　　<6> x=6, z=8, y=-41 (不合)

　　<7> x=8, z=4, y=-120 (不合)

　　<8> x=8, z=9, y=-71 (不合)

..................................................................................................................

＃由1., 2., 3., 4., 5., 6.可知此三位數為495＃

[mythman 11]

哦哦哦，這題我也做過~

設abc分別為1~9的三個相異整數，且a>b>c，其中a小於等於9大於0、b小於等於8大於0、c小於等於7大於0

則ABC三數所組成的最大值為：100a+10b+c

ABC三數所組成的最小值為：100c+10b+a

100a+10b+c-(100c+10b+a)

= 99a-99c

而由abc三數組成的三位數有這幾種組合(扣去最大&最小)：

100a+10c+b、100b+10a+c、100b+10c+a、100c+10a+b

若99a-99c = 100a + 10c +b，則a+109c+b = 0。

但是，移項來看 → 109c+b = -a

相加會出現負數，也就是說其中必定有負數，不合。

若99a-99c = 100b+ 10a +c，則100b-89a+100c = 0。

100c = 89a -100b →

b可能是0~8，故100b可能是0、100、200、300、400、500、600、700、800、900。

a可能是1~9，故89a 可能是89、178、267、356、445、534、623、712、801、890、979。

而89a-100b的值會是三位數(等於100c)的有：0組

若99a-99c= 100b+ 10c +a，則100b+109c-98a = 0

100b = 98a -109c →

c可能是0~7，故109c可能是109、218、327、436、545、654、763。

a可能是1~9，故98a 可能是98、196、294、392、490、588、686、784、882、980。

而98a-109c會是三位數(等於100b)有：0組

若99a-99c = 100c+10a+b，則199c-89a+b = 0

b = 89a-199c →

c可能是1~5，故199c可能是0、199、398、597、796、995。

a可能是1~9，故89a可能是89、178、267、356、445、534、623、712、801、890、979。

而89a-199c會是個位數(等於b)的只有801跟796一組，即a = 9，c = 4，b = 5

將a、c代入原來的差，為所求的三位數，99(9-4)=495。

[Nate River 10]

跟高二第3章的題目好像

[rm2slg 10]

由題意

知三位數不可盡同（否則差為零）

設此三位數的三個位數為a,b,c三個，取a≧b≧c，a≠c，a,b,c為1～9之中的一個整數（不可為零，否則最小值非三位數）

則這些組合中最大者為100a+10b+c

最小為100c+10b+a

差為99(a-c)，由於a≠c，故a>c，a-c最大為8最小為2（差為三位數）

有八種198、297、396、495、594、693、792

a-c為　2　、3　、4　、5　、6　、7　、8

但上述的最大與最小位數的差分別為

9-1=8，9-2=7，9-3=6，9-4=5，9-4=5，9-3=6，9-2=7

只有495合（9-4=5=a-c）

驗算：

954-459=495

[waynefay 10]

這個題目在我哥的高二數學課本好像有類題的說:o