【討論】數學推理

[KID1412 10]

(ㄧ)老師將ㄧ個二位正整數n的兩位數字總和p告訴學生甲，而將這個正整數n的正因數個數q告訴學生乙，

而甲乙兩位學生展開如下對話:

甲:我不知道n為多少

乙:我也不知道，但我知道n為奇數或偶數

甲:現在我知道n為多少了

乙:現在我也知道了

假設甲乙兩位學生都是非常誠實且聰明的。

那麼請問你知道n為多少嗎?

(二)另外請各位在多多幫忙想想小弟的數學歸納法問題!

n為大於1的自然數　試證1+(1/2)+(1/3)+(1/4)+...+(1/n)=k/h

其中(h,k)=1且h偶k奇

[清新旋律 10]

(一)

路人丙：我也知道了

路人丁：我也知道了

......就這樣，全世界都知道了

答案應該是唯一解吧~?

目前找到的答案是30

(已反白)

不曉得對否？

[KID1412 10]

答案(唯一解)沒錯!請問這位高手是否願意爲大家解釋一下你的推理過程?

[清新旋律 10]

乙會知道是奇數或偶數，有兩種可能：

(i) 若q = 2，則n為奇數

(ii) 若q > 6，則n為偶數

若n為奇數，由於甲可以藉由乙的回應

乙可以推得甲可能得到11、89等至少兩組解

但乙至此卻不能明確得知n

故n不為奇數

設n為偶數，且n有大於六個正因數

定義數列k=10a+b，a+b=p

甲由於不知道乙所知道的究竟是奇是偶

故k數列之中，不能有質數

（若有質數，甲不知道該選什麼

因為乙說知道基偶

可能會是(i)(ii)兩種情況

現實生活中的我們 可推得(i) 不正確

但是對話到一半的甲，不行推得）

例如 當p=8，

數列k=17，26，35，44，53，62，71，80

17、53、71是質數

故k數列僅可能為

k1=12，21，30

k2=18，27，36，...，81，90

又k2中，36、54、72、90皆有超過六個正因數

但題目說甲可以得知 n 為何，故n必屬於k1

其中只有30（1、2、3、5、6、10、15、30）符合條件

故得為一解。

(感謝蕃茄聯手)

[Sathla 10]

(二)另外請各位在多多幫忙想想小弟的數學歸納法問題!

n為大於1的自然數　試證1+(1/2)+(1/3)+(1/4)+...+(1/n)=k/h

其中(h,k)=1且h偶k奇

在推倒到第k項時 必須證出這條式子成立 原諒我改符號 因為數學歸納法習慣用k

1+(1/2)+(1/3)+(1/4)+...+(1/k-1)+(1/k) =n/h 其中(h,n)=1且h偶n奇

這道式子在推的時候 無記錯是必須用到微積分 這實在是無能為力 要板上的高人才有辦法