【數學】指數對數函數圖形

[Leon 10]

第一次發問...多多指教!

原命題:已知 y=a^x 與 x=a^y(y=以a為底之logx) 其中0<a<1 交於一點(1/2,1/4),則必存在

另一共點(M,N),其中M不等於N,則(M,N)為何?

我的思考流程:

一開始想說這兩個函數剛好互為指對數反函數而且0<a<1怎會有兩個焦點而且又不在

y=x上呢?但是我還是把(1/2,1/4)分別帶進去第一式,第二式,結果竟然得到 y=(1/16)^x 和

x=(1/16)^y (真的互為指對數反函數!)

最想問的是y=a^x與其反函數在 0<a<1 的情況一定無交點嗎? 本題答案為(1/4,1/2),也

就是(1/4,1/2)與(1/2,1/4)都在 y=a^x 與 x=a^y(y=以a為底之logx)上

[ck3300503 10]

紅色為的圖形

藍色為的圖形

有兩個對稱於x=y的交點

所以有二解

[暱稱暱* 10]

最初由 Leon 發表

最想問的是y=a^x與其反函數在 0<a<1 的情況一定無交點嗎?

不是應該如你所見有兩個交點嗎?

還有..ck3300503大哥阿...那圖我..看不懂>"<...應該說...看不出來...Orz

[mapleaf 11]

將原題整理

看f(x)=2^(-2^(2-4*x))-x

這個函數圖形與x軸有多少交點?

[mapleaf 11]

plot出結果

0.25到0.5之間看不出有多少個根?

maple program:

>plot((2^(-2^(2-4*x))-x),x=0...1);

[mapleaf 11]

這次只畫將0.25到0.5之間

可以看出共有3個根

也就是說,指數函數與對數函數共有3個交點

(1) x=0.25 (2)x=0.5 (3)介於0.36到0.37還有ㄧ交點

maple program:

>plot((2^(-2^(2-4*x))-x),x=0.25...0.5);

[暱稱暱* 10]

是三個?...抱歉我沒動手去算過= ="

不過看樣子我只把注意力放在有理根上= ="...

[mapleaf 11]

最初由 暱稱可以打多長 發表

是三個?...抱歉我沒動手去算過= ="

不過看樣子我只把注意力放在有理根上= ="...

不可能只有兩個根 ,要不是一個,不然就是三個, 五個

這好像叫做勘根定理吧

f(x)為連續函數 f(a)f(b)<0 , 則a與 b之間必存在1個根,或3.或5個根........,

[Leon 10]

看樣子,那個在0.36和0.37之間的解在ck3300503所畫的圖裡(有3個交點),似乎是在y=x上(可能是(0.36...,0.36...)),其他兩個(1/2,1/4) (1/4,1/2)對稱於y=x

我猜想:對於指數函數y=a^x,0<a<1而言,其反函數與之交點為奇數個,其中有一個在y=x上,剩下的兩兩對稱於y=x

ps:話說高中數學課本裡面畫出來的圖形都只有一個交點,就在y=x上,讓我當初誤會一定只有一個交點且必在y=x上

[mapleaf 11]

最初由 Leon 發表

看樣子,那個在0.36和0.37之間的解在ck3300503所畫的圖裡(有3個交點),似乎是在y=x上(可能是(0.36...,0.36...)),其他兩個(1/2,1/4) (1/4,1/2)對稱於y=x

我猜想:對於指數函數y=a^x,0<a<1而言,其反函數與之交點為奇數.............(論壇訊息:引文過長 恕刪)

確實是在y=x之上, 其餘兩點對稱於y=x,

在y=x之上座標 近似值(0.364249889783648,.0364249889783648)

這結果(有三交點)對我來說很震撼,我以前一直以為只會有一個交點

我相信大部分的人都認為只有一個交點(包含數學老師)