【問題】球體體積

[Kurak 10]

有人可以積球體體積給我看嗎@@?

也就是半徑是R的球體體積為4/3πR^3

[Kurak 10]

沒人鳥我＝　＝＂

[殘風~缺月~半日 10]

就把原的表面積機起來的話就可以了

4πR^2變成4/3πR^3

[訪客]

就把原的表面積機起來的話就可以了

4πR^2變成4/3πR^3

為什麼我聽的是反過來的

把體積微成表面積= ='

到底是那個先推出來？

[九天驚虹 10]

為什麼我聽的是反過來的

把體積微成表面積= ='

到底是那個先推出來？

都可以

先看哪個是已知的

[mapleaf 11]

有人可以積球體體積給我看嗎@@?

也就是半徑是R的球體體積為4/3πR^3

求半徑是r的球體體積為4/3πr^3的方法有許多種

在此我用其中最簡單的一種方法(旋轉體的體積)

徑是r的球體體積可透過:圓 x^2+y^2=r^2 繞y軸旋轉得到

旋轉體的體積求法又分為(1)圓盤法(2)剝殼法

此處採用圓盤法: (1)求出一片圓盤體積 (2) 積分

[清風明月 10]

被講走了XD

才剛積出來的說><

那我提供另外一種　祖沖之原理　的證明

祖沖之原理主要是說：

在等高的兩物體中　若這兩個物體不論在何處的水平截面積都相等　則這兩個物體體積相等

證明：

1.首先畫出半個球　以及一個與其等高等半徑的圓柱

2.在圓柱內接圓錐　也就是半徑跟高度都是r的圓錐

3.作一個切面　接著只要證明圓柱內截出的環狀面積=球的截圓面積即可

因為沒有圖所以只能說到這><

[mapleaf 11]

提供另一種算法:重積分

[Kurak 10]

抱歉....再問一下...

表面積怎麼積?

[Zeta 10]

其實像這樣的問題

屬於向量分析的範疇

可以用正交曲線座標的方法來解

先寫出微分體積元素的表達式

再對不同的曲線軸積分即可得到答案

優點是過程中繞過了Jacobian繁雜的座標轉換

這個方法的好處是涵跨範圍大

只要選對曲線座標類型(好像有十幾種類型)

很多奇怪形狀的體積及表面積都算的出來

直角座標 圓柱座標 球座標 是三種最基本的

不過向量只是張量的其中一個特例

在空間問題的處理上有其侷限性

也就是還不夠廣義

張量分析比較能解釋大部分的空間問題

[mapleaf 11]

抱歉....再問一下...

表面積怎麼積?

[mapleaf 11]

求半徑是r的球體體積為4/3πr^3的方法有許多種

在此我用其中最簡單的一種方法(旋轉體的體積)

徑是r的球體體積可透過:圓 x^2+y^2=r^2 繞y軸旋轉得到

旋轉體的體積求法又分為(1)圓盤法(2)剝殼法

此處採用圓盤法: (1)求出一片圓盤體積 (2) 積分

更新圖片連結

[mapleaf 11]

更新圖片連結

[Morris 10]

以『微分體積元素』來求體積

［１］球座標下的位置向量為

［２］球座標的尺度因子為

［３］接著進行座標轉換，各軸向的線素為

［４］最後，微分體積元素為各軸向線素的乘積

［５］最後進行分離變數積分即可得球體體積

此內容已被編輯, September 3, 2010 ,由 Morris

[Morris 10]

以『向量微積分』來求球體體積

由幾何曲面得知單位法向量面積元素為

接著將位置向量以向量分解與鏈鎖率展開可得

兩等式上下對照，可得

所以面積元素可表示為

球座標下的位置向量為

球座標下的尺度因子為

則面積元素可寫為

接著由散度定理，可得二重積分與體積的關係式

令球面方程為，則法向量為，再將dA代入積分式，則球體體積可寫為

此內容已被編輯, September 3, 2010 ,由 Morris