以STATISTICAL SNACKS所歸納出之公式，來估算單枚飛彈擊中最小起降帶之機率為何

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首先，照例丟連結
(  這篇文章是摘路自STATISTICAL SNACKS之論文而來，僅提供計算公式，並無證明過程，小弟手上也沒有論文可以證明給大家看，如有興趣其公式推導過程的同好，麻煩請自行去尋找原文。 )
 
 
p = 1 – exp( -0.41 · R² / CEP² )
上為論文所歸納出的計算公式，容小弟先行解釋一下。
 
P  →  飛彈擊中目標物之機率。
 
1   → 全部的可能性，包含有擊中和沒擊中的機率，又可寫成 100 %。
 
exp  → 以歐尤拉自然數 ( 符號表示為e，為無限小數2.7182...... ) 為底數的指數函數。通常表示成https://upload.wikimedia.org/math/8/8/3/8830bf4b16479542d4178b884a906383.png，亦表示成 exp ( x ) ，有些工程計算機上也會表示成 e^x。
 
-0.41  →  為STATISTICAL SNACKS提出的相關常數項。
 
R   →  目標物之半徑長。
 
CEP ( 圓週率誤差半徑 ) → 為當代學者探究飛彈性能時，所參考到的重要性能指標之一 ( 另有為DRMS、2DRMS、R95 )。最簡單的理解為 : 假設飛彈CEP為 50m 且必定遵守高斯二維常態分布，代表 50 % 的飛彈會落入目標50公尺以內，而 43 % 之飛彈會落入 50~~100公尺之內，7 % 落入 100~~150公尺之中。但，請注意，此公式 p = 1 – exp( -0.41 · R² / CEP² )還參雜了許多變數，故計算出的數值，和直觀用CEP去算的情況不同。
 
 
 
 
這裡就有眼尖的網友們會發現，此公式是以R為目標半徑長來計算，那如果目標不是圓形呢 ?
 
此文舉了個例子。假設有枚CEP為150公尺的飛彈，欲攻擊 100m x 100m 大小的正方形，那麼，將此正方形轉換成幾乎同等面積大小的一個圓形 ( 二者面積皆為 10000平方公尺 ) ，其半徑約為56公尺左右，再依照數據套入此公式內  :  1 – exp( - 0.41 · 56² / 150² ) = 5.6%
故我們可以得知，此飛彈之單枚擊中率 ( single shot kill probability，SSKP ) 為5.6%。
 
原文舉例如下 ( 我英文不好，上面翻的不是很好，見諒 ) :
     Assume a small complex with the dimensions 100 m by 100 m is targeted with a missile having a CEP of 150 m. Converting the rectangular area into a circle of equal area gives us a radius of about 56 m. Thus the SSKP is:
 
p = 1 – exp( -0.41 · 56² / 150² ) = 0.056 = 5.6 %
 
但是，小弟對於他這個方法提出了一些新的看法。如果目標物是跑道之類的極長長方形，論文中所提出「面積不變，圖形轉圓形」的方法就不適用，會和真實狀況產生極大的誤差。因此，小弟認為，先假設一個涵蓋目標物的大圓 ( 註 ) ，用此大圓之半徑 R 來帶入此公式，我們就可以求得飛彈落在大圓的機率為何 ( 假設其值為 P )；再計算此目標物佔大圓的面積比例是多少 ( 假設其值為 A )  
最後，將 P  ( 飛彈落在大圓的機率 )  乘上  A ( 目標物佔大圓的面積比例  )  =  飛彈命中大圓中的目標物之機率
 
其數學式子寫為；
               { 1 – exp( - 0.41 · R² / CEP² )  }   x    {  目標物之面積 ÷ ( R² x 3.14 )   }   = ? %
 
 
看不太懂小弟在寫甚麼 ? 沒關係，我們來以上面論文舉的例子來做計算 :
 
已知有枚CEP為150m的飛彈，欲攻擊面積為100m x 100m 的正方形目標物，試問其單一命中率為何 ?
 
下圖為計算過程 :
 
 
 
嘛，有0.059%的的誤差直，勉強可以接受。
 
 
註 : 注意，如果是計算跑道這種很長的長方形，千萬不要只用一個圓來算，一定要切割成好幾個圓，再來分開計算命中率，最後在統合起來，不然會發生很悲劇的數學矛盾 ( 經驗談，要在這裡解釋是甚麼矛盾有點難解釋 ，各位自己下去算就能了解 )
 
 
在計算前，我們先假設一些計算的前提和參數。
 
 
 
( 嘛，中共飛彈的CEP範圍真的很大，我在網路上爬文，有的可以到15 m ，有的到 700 m，我自己假設數字好了 )
 
 
1.來襲飛彈之 CEP=125 m
 
2. 假設某戰機所需之最小起降帶為長 600 m ，寬 30 m ，而飛彈的座標鎖定為此最小起降帶的正中心，本題目是探討其擊中此最小起降帶 ( 600m x 30m  ) 的機率，並非擊中整個機場的機率
 
3 本題目只計算飛彈擊中跑道的機率，不計算封鎖跑道的機率 ( 太複雜，要用蒙地卡羅程式去計算 )，故計算出來的數值僅供參考
 
4 飛彈之落點呈現二維正圓軌跡分布
 
5.石喜林、譚俊峰（2000）在「飛機跑道失效率計算的統計詴驗法 」一文中，提出了「落在跑道外但距離小於彈坑半徑的彈頭會造成跑道相同的毀傷效果，稱為「座標毀傷」。」為減輕運算難度，此論點本題目亦不採計
 
6 不考慮彈頭種類，亦不考慮散撒環半徑
 
 
 
以下題目&算式 :
      
 
    假設有枚CEP125m的飛彈，欲擊中一條長600 m，寬30 m 的最小起降帶，試問其單枚命中率為何 ?
 
 
為了盡量計算正確，小弟將此跑道切割成4個圓4部分探討，分開討論其命中率，最後再統合出4個數值，計算出總機率
下圖為示意圖，和運算規則
 
 
 
 
 
 
第一部份 : 飛彈擊中A圓區域上的跑道機率
 
 
由上所知────
飛彈擊中 A圓上的機率為 0.59%
 
 
 
第二部份 : 飛彈擊中B圓~~A圓區域上的跑道機率
 
由上所知────
1 飛彈落在B圓內的總機率為 23%
 
2 飛彈落在 B~~A圓中的機率為 22.41%
 
3 飛彈擊中 B~~A圓上的跑道機率為  4%
 
 
 
第三部份 : 飛彈擊中C圓~~B圓區域上的跑道機率
 
 
 
由上所知────
1 飛彈落在C圓內的總機率為 65%
 
2 飛彈落在 C~~B圓中的機率為 42%
 
3 飛彈擊中 C~~B圓上的跑道機率為  2.77%
 
 
 
 
 
第四部份 : 飛彈擊中D圓~~C圓區域上的跑道機率
 
 
由上所知────
1 飛彈落在D圓內的總機率為 90.6%
 
2 飛彈落在 D~~C圓中的機率為 25.6%
 
3 飛彈擊中 D~~C圓上的跑道機率為  0.91%
 
 
 
 
 
綜合上述所計算，單枚飛彈擊中此最小起降帶的總機率為────
8.27%  ( 0.59% + 4% + 2.77% + 0.91%  = 8.27%   )
 
 
 
 
這裡可能有人會表示，敵人如果用CEP=50m以下的飛彈打怎麼辦 ? 不但命中率上升，封鎖機率也會和命中率成正比的上升啊 !
 
 
沒錯，如果把上面的算法不變，只把CEP 改成50m的話，其命中率大約是 18.4% 。 但小弟認為，CEP在50m以下的所有飛彈，會優先打擊像是衡山作戰指揮部，這種需要正面貫穿，才有可能打穿的抗炸要塞堡壘，或是機動雷達站，這種跑很快又很欠打的目標 ； 而CEP介於 50-100m的飛彈，會優先打擊油庫、防空陣地、大型雷達站等等次大的目標。除非這些飛彈有打剩，否則他們不會那麼奢侈，用CEP100以下的飛彈來打機場。
 
 
 
 
飛彈萬能論 ( X )
飛彈牽制論 ( O )
 
 
Edited by 陰舞雩
圖片顯示不出來 只好改用別的方法
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