一個 積-微分方程式(Integro-differential equation) 的問題

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我有一個方程式:

d x/ dt =-x^3+sin(A*t ) ,x(0)=0

A=< |x(t)| >

這是一個 非線性的 "積-微分方程式"

因為至少有一個 x^3 在那裡就是一個非線性的了!

而其中< |x(t)| > 代表方程式的解x(t)

取絕對值後 再對時間取平均

因此A=< |x(t)| >展開來寫

就是

A=< |x(t)| > =

∫ |x(t)| dt , 從t=0 積分到 t=a

lim -------------------------------------------------

a-->∞

a

所以< |x(t)| > 其實是一個積分式

因此 dx/dt =-x^3+sin(A*t ) , x(0)=0 , A=< |x(t)| >

合稱 就是一個 非線性的 "積-微分方程式"

我想請教的是: 該如何用 數值分析 解出它的x(t) 呢?

我曾想過 固定點迭代法

方法是

先給一個猜測的初值A=A0=常數

代入

" dx /dt =-x^3 + sin(A *t ) ,x(0)=0" 中

得

" dX0 /dt =-X0^3+ sin(A0*t ) ,X0(0)=0"

則

原本的非線性 "積-微分方程式" 就轉為一個 非線性的"微分方程式"了

然後再用一般用來解 非線性"微分方程式" 的數值方法

解出其解 X0(t)

並令x(t)=X0(t) 代入A=< |x(t)| >然後求平均

以解得 A1=< |X0(t)| >

再令A=A1

代入

" dx /dt =-x^3 + sin(A *t ) ,x(0)=0"

然後就........

繼續 依上述步驟繼續執行下去

最終如果收歛 則可得 非常接近解的Ai 與Xi(t)

但是我馬上就發現這個流程 根本行不通

原因是因為計算< |X0(t)| > 時

是對 | X0(t) |從t=0到t=無限大 的平均

但是由於每次轉化後 成為微分方程式的方程" dX0 /dt =-X0^3+ sin(A0*t ) ,X0(0)=0"

仍然是非線性的

所以對它 也只有用數值分析才能解得X0(t)

但是數值分析 是不可能解得X0(t) 從t=0到t=無限大

的全部函數形狀的

因此也就沒有計算出< |X0(t)| >的可能了

沒辦法計算< |X0(t)| > 也就沒辦法進行下一步的迭代動作

所以這個方法(用迭代的方式)就不可行了!!!!!!!

所以想請教 有沒有其他解析的方法或數值方法 可以解開此問題的x(t) 與 A 的解 或其近似解嗎?

謝謝您!!!

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關於 積-微分方程式 這個名詞 不知道大家用法有沒有一樣

先 看看下面網址吧!! 謝謝!

1.

http://ndltd.ncl.edu.tw/cgi-bin/gs32/gsweb.cgi/login?o=dnclcdr&s=id=%22077NCU02479003%22.&searchmode=basic

2.

http://en.wikipedia.org/wiki/Integro-differential_equation

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此內容已被編輯, January 13, 2015 ,由 bb10276
式子寫的不夠漂亮