幾何

[superrichstar 10]

公理1:通過任意兩個點,有一條並且僅有一條直線。

公理2:每一直線上有無窮多點。

公理3:至少有不在一直線上的三個點。

公理4:通過不共線的任意三個點,有一個並且僅有一個平面。

公理5:每一平面上有無窮多點,而且它們不都在一直線上。

公理6:若一直線上的兩個點在某平面上,則這直線的所有點都在這平面上。

公理7:若兩平面有一公共點,則必有第二個公共點。

公理8:至少有不在一平面上的四個點。

只利用上述的8個公理,如何嚴謹地證明下述的4個定理呢?

定理1:在每一平面上通過每一點有無窮多條直線。

定理2:在每一平面上有無窮多條不都共點的直線。

定理3:通過空間中的每一點有無窮多條不都共面的直線。

定理4:空間中有無窮多個不都共線的平面。

[asd768999 10]

這應該不算幾何而算邏輯吧ˊ_>ˋ

[gkevinyen5418 10]

定理1:

藉由 公理5 :給定的面上有無窮多個點 => 該面上必有異於 給定的點A 的另一點B

公理1 => A 跟 B 能構成一條線 L

公理6 => L 在給定的面上

然後公理5 它們不都在一直線上 該面上必有一點C 不在 L 上

公理1 => B 跟 C 構成一條線 M

公理6 => M 在給定的面上

公理2 => M 上有無窮多點

公理1 => M上任一一點 必可跟 A 構成一條線

迴圈

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公理1 僅有一條直線 => M上 選一點D D已跟 B 構成一條線M ，

因此 不可能又在L上 否則會與B構成第二條線

不在L上

公理1 D不在L上 又須跟A 有一條線=>另外一條在面上的線

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公理2 => M上有無窮多點 無窮多個D

反覆迴圈 得平面上過A點的無窮多條線

定理1 得證(?

[gkevinyen5418 10]

還是覺得不太嚴謹= =

但大架構是出來了(?

求高手 幫忙改正<(_ _)>

[gkevinyen5418 10]

定理二:

我就承上上吧

過A有無窮多條線

公理1=>他們必只共A一點

A 不在 M上 M不過A點

M 跟 過A 的無窮多條線 => 不都共線的無窮多直線 得證(?