100年建中科學班考題疑問

[叡Ray 10]

100年的最後一題計算證明題

設a,b,c為實數 a不等於0

f(x)=ax^2+bx+c g(x)=ax+b

已知當-1≦x≦1時 -5≦f(x)≦5 試證:

(1)當-1≦x≦1 時 -10≦g(x)≦10

(2)若已知當-1≦x≦1時，g(x)的最大值為10，則f(x)=?

已更正題目

此內容已被編輯, January 6, 2013 ,由 叡Ray

[ChthoniC 10]

恕我笨了

如果1.是要證明他對，那2.的題目不就矛盾了嗎

[ck991021 10]

話說這題看起來好難...

哭哭

[ck991021 10]

題目錯了啦XDD

f(x)=6x^2-1時錯了

[ChthoniC 10]

所以題目是....?

[asd768999 10]

題目有誤吧.....

話說你是高雄光中還是新竹光中?

如果是高雄人可以認識一下(ﾟ∀ﾟ)

[高溫超導體 11]

好難喔！去年看到這題目，就放棄考了ˊ_>ˋ

[叡Ray 10]

打錯= = 重打一次

設a,b,c為實數 a不等於0

f(x)=ax^2+bx+c g(x)=ax+b

已知當-1≦x≦1時 -5≦f(x)≦5 試證:

(1)當-1≦x≦1 時 -10≦g(x)≦10

(2)若已知當-1≦x≦1時，g(x)的最大值為10，則f(x)=?

PS:小弟是新竹人

[ck991021 10]

(1)不失一般性設a>0，則g(x)<=g(1)=f(1)-c<=5-f(0)<=10

g(x)>=g(-1)=-f(-1)+c>=-5+f(0)>=-10

a<0同理

(2)設a>0，則f(0)=-5,f(1)=5，且f(0)是最低點代表以y軸為對稱中心，f(x)=10x^2-5

a<0則反之，f(x)=-10x^2+5

[asd768999 10]

(1)不失一般性設a>0，則g(x)<=g(1)=f(1)-c<=5-f(0)<=10

g(x)>=g(-1)=-f(-1)+c>=-5+f(0)>=-10

a<0同理

(2)設a>0，則f(0)=-5,f(1)=5，且f(0)是最低點代表以y軸為對稱中心，f(x)=10x^2-5

a<0則反之，f(x)=-10x^2+5

不失一般性這句要加嗎?

只有兩種情況a>0和a<0，而你已經將兩種情況都說完了吧......

[叡Ray 10]

不太懂為何f(0)是頂點?

煩請解釋 感謝^^

[ck991021 10]

反正多寫不會有事ˊ_>ˋ

因為是最低點阿

[叡Ray 10]

不一定是最低點吧...

不一定是以y軸對稱吧...

[ck991021 10]

一定要是最低點 ，不然會有<-5的函數值

[叡Ray 10]

如果f(1)=5 f(-1)=4

頂點就不在y軸啦

[asd768999 10]

一定要是最低點 ，不然會有<-5的函數值

函數可以有<-5的函數值啊

只要不在閉區間[-1,1]裡就好

[如夢幻夜™ 10]

設a>0

依照條件得−5≤f(1)≤5，即−5≤a+b+c≤5...(1)

同理−5≤f(−1)≤5，即−5≤a−b+c≤5...(2)

−5≤f(0)≤5，即−5≤c≤5...(3)

若a>0，則g(x)的最大值必為g(1)=a+b，g(x)的最小值必為g(−1)=−a+b

由(1)(3)可得 −10≤a+b≤10

同理由(2)(3)可得 −10≤−a+b≤10

故−10≤g(x)≤10得證

同理若a<0則−10≤g(x)≤10

[ck991021 10]

函數可以有<-5的函數值啊

只要不在閉區間[-1,1]裡就好

就是會在那個區間裡有這種的函數值阿

[叡Ray 10]

第一題的證明沒什麽問題

第二題只要b不是0就一定會

有小於-5的函數值在1和-1之間?

不懂

大神你思考太跳躍了小弟跟不上...

[如夢幻夜™ 10]

當g(x)有最大值的時候

表示g(x)一定通過(1,10)或(-1,10)

(1)通過(1,10)

g(x)=ax+b

10=a+b

b=10-a

f(1)=5

a+b+c=5

c=-5

回頭看函數

f(x)=ax^2+bx-5

配方一下

f(x)=a[x^2+(10-a)x/a+(10-a)^2/4a^2]-5-(10-a)^2/4a

=a[x+(10-a)/2a]^2-5-(10-a)^2/4a

當b不等於0時

會發生一個很可怕的狀況，也就是f(x)會小於-5(因為(10-a)^2/4a恆大於0)

與題意不合

因此b=0且a=10

得到f(x)=10x^2-5

(2)通過(-1,10)

10=-a+b

-10<a<0

f(-1)=-5

a-b+c=-5

c=5

同樣回頭看函數

f(x)=ax^2+bx+5

配方一下

f(x)=a[x^2+(10-a)x/a+(10-a)^2/4a^2]+5-a(10-a)^2/4a

=a[x+(10-a)/2a]^2+5-(10-a)^2/4a

當b不等於0時

同樣的，f(x)會大於5

與題意不合

因此b=0且a=-10

得到f(x)=-10x^2+5

整理後得

f(x)=10x^2-5

或

f(x)=-10x^2+5

[howt 10]

(1) | g(±1) | = | f(±1) - f(0) | ≦ | f(±1) | + |f(0)| ≦ 10

(2) 由於取| g(±1) |=10，因此 |f(0)| = 5，這意味著f(0)是[1,-1]的最大或最小值；

但是x=0又不在區域邊界上，於是它只能是極值，也就是二次函數的對稱點。

因此 f(1)=f(-1)=±5，f(0)=∓5

[叡Ray 10]

感謝各位的回覆

看完留言我自己推了一遍終於懂了