有理數與無理數

[jim1130lc 10]

a^38 和 a^20 均為有理數，則 a^6 為有理數

這個敘述對不對?

我覺得對，但我聽到有老師說錯，請問有人可解嗎?

[瞇鴨呱呱 10]

a^38/a20=a^18

a^20/a^18=a^2

(a^2)^3=a^6

有理數的整數次方必為有理數~~

是嗎(講錯別k我><

[jim1130lc 10]

a^38/a20=a^18

a^20/a^18=a^2

(a^2)^3=a^6

有理數的整數次方必為有理數~~

是嗎(講錯別k我><

你的想法與我相同~因為有理數對四則運算都具有封閉性，但不知那老師為何提出此為錯誤命題的話，是否有人可以糾正?

[如夢幻夜™ 10]

嚴格說起來一個數只要是有理數，就可以被表達成分數p/q，其中p,q都是整數但q不等於0

首先(a^20)^2=a^40有理數的平方也是有理數，想像成可以表達成p^2/q^2就可以理解

再來a^40/a^38=a^2也是有理數，在這裡假設a^38=m/n，則a^2=np^2/mq^2也是個有理數

最後得知a^6=(a^2)^3=(np^2)^3/(mq^2)^3

因為(np^2)^3、(mq^2)^3分別都是整數

所以a^6也是有理數得證

[瞇鴨呱呱 10]

可以問一下喔

我證法是否不嚴謹阿??

因為我想念數學需要嚴謹點=_=

[jim1130lc 10]

可以問一下喔

我證法是否不嚴謹阿??

因為我想念數學需要嚴謹點=_=

不會啦~很ok^^

我是念數學的^^

[Euler 10]

敘述「有理數的整數次方必為有理數」會出現一些問題

因為０的整數次方未必是有理數

例如０的ａ次方（其中ａ＜０）為無意義

所以改為「非０有理數的整數次方必為有理數」會較好

個人淺見

此內容已被編輯, May 22, 2013 ,由 Euler

[fonglokma 10]

設Y=a^2

a^38

=(a^2)^19

=Y^19

題目假設了這個是有理數

a^20

=(a^2)^10

=Y^10

題目假設了這個是有理數

Y^19=Y^10乘Y^9

有理數 乘 無理數 /= 有理數

例3乘2^0.5=3開方2

所以Y^9是有理數

Y^9乘Y=Y^10

所以Y是有理數

a^6

=(a^2)^3

=Y^3

所以當Y為0以外任意有理數時，Y^3必然為有理數

即a^6必然為有理數

[fonglokma 10]

若不用代換法

可以直接用

a^38=a^20乘a^18

a^20=a^18乘a^2

a^18=a^2乘a^16

a^16=a^2乘a^14

a^14=a^2乘a^12

a^12=a^2乘a^10

a^10=a^2乘a^8

a^8=a^2乘a^6

同樣可以證明a^6是有理數

因為3個數，只要知道其中兩個是有理數，剩下的必然為有理數

有理數 乘 有理數 =有理數