關於根與係數題目求解

[minie480 10]

方程式x^3-3x^2+mx+n=0，m、n均為實數，若方程式有一虛根2i，則m+n=? (a) -8 (b) 8 © 6 (d) -6。 [84]

[司馬特 12]

方程式為實係數三次多項式 虛根必成對 且有一實根

所以可以知道方程式可以分解為(x+2i)(x-2i)(x+C)=0

展開後得到x^3+Cx^2+4x+4C=0

所以C=-3, m=4, n=4C=-12

m+n=4-12=-8 答案為(a)

[minie480 10]

我知道有一虛根是2i所以另一根要假設-2i另一個則是實根所以假設成C

但是為甚麼要(x+2i)(x-2i)(x+C)=0?

是因為要讓他們變成題目給我們的那樣嗎?

以後遇到類似的題目都可以這樣使用嗎?

[★羽翼 14]

因為原方程式最高次數項是三次，

所以可知方程式有三個根

至於根的定義，就是帶入原方程式會成立嘛~~

所以假設方程式為(x+2i)(x-2i)(x+C)=0，

把2i、-2i和-C帶入就都可以成立了

[minie480 10]

嗯嗯0.0..

謝謝你們0.0..

你們都好聰明唷><..

[★羽翼 14]

沒有啦XD

有幫忙解到疑惑就好

[司馬特 12]

我知道有一虛根是2i所以另一根要假設-2i另一個則是實根所以假設成C

抱歉我再囉嗦一下

在(x+2i)(x-2i)(x+C)=0裡

我假設的實根是-C 不是C喔

雖然對解這題來說沒有什麼差別

不過有的時候這種小地方反而容易被忽略掉

答案差一個正負號就差很多囉~

[minie480 10]

我是假設正的C不是假設負的C耶0.0..

我假設正的算出來答案是對的耶0.0..

那又為什麼要去假設成負的C呢?

[asd768999 10]

我是假設正的C不是假設負的C耶0.0..

我假設正的算出來答案是對的耶0.0..

那又為什麼要去假設成負的C呢?

如果我的想法沒錯，您兩位的差別只在於

(x+2i)(x-2i)(x+C)=0

與

(x+2i)(x-2i)(x-C)=0

上式x的實根為-C，而下式為C，假設的不同對於答案並無影響，只要知道方程式的解意即"將x帶入此方程解則此式子成立"就行了。

[司馬特 12]

如果根是C的話

式子應該要列成(x+2i)(x-2i)(x-C)=0

那樣的話展開之後會變成x^3-Cx^2+4x-4C=0

所以C=3, m=4, n=-4C=-12

m+n=4-12=-8 答案還是(a)

我只是因為 展開之後都是+號 感覺比較順眼

所以才設成-C

羽翼大也有提到 把-C帶進去才會滿足(x+2i)(x-2i)(x+C)=0 所以根是-C而不是C

我是怕有人被誤導 所以才又多說了幾句

[男孩 15]

個人是偏向全假設成(x-口)相乘的形式，雖然沒有一定要這樣，但多少能避免掉一些不必要的邏輯轉換

這題雖然C與-C不影響答案，養成一個固定習慣對計算會有幫助

[minie480 10]

謝謝，我明白了=ˇ=

我算的時候假設C帶進去的時候還是把它變成正的沒有改負的，但其實答案是一樣的並沒有差吧=ˇ=?