整除性質

[曾阿牛 10]

最近被一題數論問題所困擾　如下：

令 a, b, n 為整數　其中 a 不等於 b　且 n 大於等於2 (阿牛覺得 n=1 也無妨)

試證　如果 n 整除 a^n － b^n　則 n 也能整除 (a^n － b^n)／(a － b)

[如夢幻夜™ 10]

當n為質數時，此結論成立

當n不是質數時

設n=pm(p為質數，m為正整數)

(a^n-b^n)/(a-b)=[(a^m)^p-(b^m)^p]/(a^m-b^m)*(a^m-b^m)/(a-b)

其中前半段[(a^m)^p-(b^m)^p]/(a^m-b^m)為質數p的倍數

再對(a^m-b^m)/(a-b)拆解質因數

如此到最後當m為1時拆解完畢

此式子已包含n的所有因數

(a^n-b^n)/(a-b)也是n的倍數得證

可推論

若 n整除a^n-b^n

n也能整除(a^n-b^n)/(a-b)

PS我不是數學系的QQ可能證明沒有像數學系一樣嚴謹

或是我夾雜太多不專業的用詞= ='

不過我很努力的找答案想通了才打出這些結論的

希望對你有幫助 :)

[ck991021 10]

設n=_p_i^a_i的連乘積，只需要考慮那些和a-b不互質的p

設n=mq^c,(m,q)=1,a-b=eq^d,(e,q)=1

展開：a^n-b^n=(b+eq^d)^(mq^c)-b^(mq^c)

=b^(n-1)emq^(d+c)+......+e^nq^(dn)

是mq^c的倍數，顯然是mq^(c+d)的倍數

m是e^n的因數，由於n>m,n-1>m顯然m是e^(n-1)的因數。

因此原式是emq^(c+d)的倍數。

對每個不與a-b互質的p都這樣做即得證。

此內容已被編輯, October 5, 2012 ,由 ck991021

[曾阿牛 10]

設n=_p_i^a_i的連乘積，只需要考慮那些和a-b不互質的p

設n=mq^c,(m,q)=1,a-b=eq^d,(e,q)=1

展開：a^n-b^n=(b+eq^d)^(mq^c)-b^(mq^c)

=b^(n-1)emq^(d+c(n-1))+......+e^nq^(dn)

是mq^c的倍數，顯然是mq^(c+d)的倍數...

第一行阿牛明白　第二行就有點不確定您的意思　假如阿牛沒會錯意的話

第二行的 q^c 或 q^d 是要表示為 n 與 a-b 共有的因數(即公因數)　

如果真是這樣　那麼　(m, q)=1 和 (e, q)=1 就可能有一個不成立

三, 四行的展開似乎有寫錯　　第五行的"顯然"　阿牛並不覺得顯然

結論：要是第二行真的有錯　那麼也不需要再往三四五行看了

(a^n-b^n)/(a-b)=[(a^m)^p-(b^m)^p]/(a^m-b^m)*(a^m-b^m)/(a-b)

有這一行就夠了

不過我很努力的找答案想通了才打出這些結論的

希望對你有幫助 :)

有很大的幫助！　真是非常謝謝 T_T

阿牛也很努力找答案　但是就是找不到　而且想了三天　然後才來求助

您居然沒多久就有辦法解題　真是比阿牛利害得多了

[ck991021 10]

q是質數

錯了一個地方，這是二項式展開我只把頭尾寫出來

條件和顯然只差了q^c

每一項q的冪次至少都是c+d

[howt 10]

2樓作法是有誤的

首先命題(1) 若質數 p|(x^p-y^p) ， 則p| (x^p-y^p)/(x-y) ，這沒問題

接著令n=pq，已知 pq | a^n-b^n

整理一下 a^n-b^n= [ (a^(qp)-b^(qp) ) / (a^q-b^q) ] × [(a^q-b^q)(a-b)]

而第一項會被p整除，這是由命題(1)來的，也就是由於： p | a^(qp)-b^(qp)

但是第二項就不一定會被q整除了，因為我們只知道 q | a^(qp)-b^(qp)

這不保證q | a^q-b^q，換言之就無法使用命題(1)證明 q | (a^q-b^q)/(a-b)

於是就不可能簡單的把m遞降到1

實際舉個反例： a=2、b=1、p=2、q=3

3 | 2^6-1，但是 3 | 2^3-1 顯然是錯誤結論。