高中數學(最短時間問題)

[曾阿牛 10]

座標平面上　x 軸代表一條河之河岸　x 軸上方為河水

座標(0, 1)上有一人　欲前往座標(2, 0)的河岸

此人在水上行進的速度是陸上的一半

請問此人該從河處上岸　才能最快到達目的？

這題用微積分來處理　自然是能解　

可是問題是　這題出現在高中1~4冊的複習卷裡

詳解裡是用三角函數來解　但　解答竟只寫了一半就沒了！？！？

特來請教各位　有何看法　是不用到微積分的

此內容已被編輯, October 1, 2012 ,由 曾阿牛

[ck991021 10]

把人當成光，此人的路徑符合費馬原理，即遵守Snell定律

然後...我不知道這樣能不能做

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可以欸XDD剛好是全反射的臨界角XDD

[曾阿牛 10]

感謝回應　　但是阿牛缺乏對費馬與 snell 的了解　所以不明白您的用意

另外　為什麼會有反射？？

關於此最短時間問題　阿牛今天下午與一熱心的老師討論　已經找到一個不用微積分的方法

不過暫時不公開做法　讓大家也想想

阿牛只是覺得很感嘆　那方法其實也不是沒看過　卻偏偏還需要別人來提點　真想揍自己一頓

此內容已被編輯, October 2, 2012 ,由 曾阿牛

[ck991021 10]

就是，光在兩介質間折射時走的路徑會讓光的行進時間最短

寫成數學的形式是sinθ_i：sinθ_f=v_i:v_f

因為θ_f=π/2所以θ_i=π/3

他要在(sqrt(3),0)上岸

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如果他的目的地不夠遠，像在(1,0)的話他要走直線

[howt 10]

令 A(0,1),B(2,0),P(x,0)，水上速率=v

則所求為(PA)/v + (PB)/(2v) 的 min

或者等於求 2PA+PB的min

因此作C點(0,-1)，則相當於求三角形ABC的費馬點

[曾阿牛 10]

Re #4 ck991021　那麼　你的介面(兩介質之間的界面)是？　(可能的話請用方程式來表示)

你的答案跟正解剛好顛倒　也就是說　答案是 (根號3)分之1

Re #5 howt　費馬點...　阿牛是有看過啦　但不記得細節了　

而且　也不能期待一般高中生都知道費馬點的相關知識

[ck991021 10]

喔我錯了

入射角是30度才對

界面是x軸

[曾阿牛 10]

界面是x軸

是x軸？？　如果是　則相當於光在透射後走在界面上！　有這種事麼？！

不過　阿牛大概知道您的做法　雖然部分細節有誤　　很感謝提供 idea

那麼接下來　阿牛就把"平民式"的做法放上　如下

延用 howt 的設定　令 A(0,1), B(2,0), P(x,0)

那麼問題相當於求 2‧根號(x^2+1) ＋ (2-x) 的最小值　( x 介於 0 到 2 )

做法是直接令 2‧根號 (x^2+1) ＋ 2-x ＝ k

整理得 4(x^2+1) ＝ ( x + k -2 )^2　再整理可得一 x 的二次多項式　係數中有k

因為題目的最小值存在　所以此二次式的判別式大於等於0　由此可得一關於k之不等式

k 的最小值就藏在不等式中

[howt 10]

這兩點要是不在x、y軸上，平民法就爆了...

[曾阿牛 10]

這兩點要是不在x、y軸上，平民法就爆了...

"這兩點"應該是指 A (人初始位置) 和 B (目的地) 吧

可是阿牛感覺不到為何會爆？　頂多是計算量提高一些

可以詳細說明何為"爆"　以及 爆 的原因麼？　謝謝

另外　此題主要的精神在考慮水上一人欲前往河岸一點

如有必要亦可以重設座標　簡少計算量

[howt 10]

兩點都不在x軸上，動點在x軸上，會變成四次式阿。

還要算四次式的判別式不就爆了...

[曾阿牛 10]

兩點都不在x軸上，動點在x軸上，會變成四次式阿。

還要算四次式的判別式不就爆了...

此問題的重點在於一段走水路、一段走陸路　水路與陸路行進速度不同

兩點都不在x軸上，動點在x軸上　變成皆走水路　問題將變質

問題變了質　有些做法仍能適用　那是博大的方法　例如微積分　

問題變了質　有些做法不再適用　那是自然不過的了

您改變了問題　再來挑剔做法　這不是很奇怪嗎　更不知您的心態是什麼

還有人 like 您挑剔的文章...　阿牛便覺得　您倆一起打擊阿牛

做法是無辜的　數學也是無辜的　請不要利用數學　或自侍數學高強　打擊別人　數學不該被當做兇器

阿牛絕不否認 howt 大的數學實力　甚至每次看到 howt 大解題　都感到受益匪淺

但看文章的同時　總有一種不舒服的感覺　只因這回特別明顯　故加以點出

如果自信是建立在勝過別人上　那種信心是空洞的　需要一再的跟人比較　一再的勝過別人

但除非是你是世界第一　否則你比不完

阿牛的自信是建立在清楚自己知道什麼　也清楚自己不知道什麼

所以當有人讚美阿牛時　阿牛知道這讚美是不是恰如其分的　也能知道這人是不是誠信的對待自己

當有人批評阿牛時　阿牛也能知道這批評是否是真實　如果是假　自然不放在心上

如果是真　而且批評中帶有建設性的意見時　阿牛便會儘量改善

此內容已被編輯, October 8, 2012 ,由 曾阿牛

[Ula 10]

待人處事的道理到哪裡都適用

我欣賞樓主!!!

[howt 10]

我不認為一個人的作法就代表人阿

作法錯了就錯了，修正就好，我錯了你批評我我也不會說什麼

難道改考卷不能直接打叉，還要在旁邊寫，你這邊可能有錯回去再想看看？

以這題兩點都不在x軸上來說，用費馬點也是解不出的

(其實我希望你質疑我，不過看來你先動怒了)

但是用折射定理會得到一個有理四次方程，

其根是一堆二次開方的組合，所以應該存在幾何作法但想不出，然而用k解就更難了。

而以上包含前幾樓的「爆了」，都只是對各方法一般化的評論，也沒有要批評人的意思。

何況我也沒說你的方法錯了，只說爆了，計算量會很龐大而已。

至於後面什麼自信云云，我只能說...別把個人思維套到別人身上。

捫心自問，我只是享受解出題目的樂趣，就像登山者攻頂一樣；

順便訓練一下腦袋，而不是為了得到網路上不認識者的讚賞。

何況這種讚賞有何用呢？與線上遊戲的虛擬世界豈不是一樣？

[卡卡卡西莫多 10]

(1-a)/2v+^(a2+4)/v v已知位置为（a，0） 求算式最小值 ，先求导 求出间断点，即为最小值。高中学过导数应该就可以做

[冰雨霜 10]

目前高一...因為會的不多所以想了很久!!終於找到一個純幾何的解法了~~~

給大家參考看看囉!!

此內容已被編輯, December 2, 2012 ,由 冰雨霜