小數一問

[曾阿牛 10]

Does there exist a positive integer n such that　？

[howt 10]

令a=2+√2、b=2-√2，A_n=a^n+b^n

易證A_(n+2)=4A_(n+1)-2A_n (其實就是二階遞迴方程解倒著看)

由於對所有的正整數n，A_n都是正整數，且b^n<1

故a^n-[a^n] = (A_n - b^n) - (A_n - 1) = 1-b^n，

而b^n要多小有多小，故存在