一題高中數論

[dora2402 10]

n為正整數

n^5+2n^4+2n^3+2n^2+2n+1為一為完全平方數

求n的所有可能值?

應該只有一組解3

但不知如何證明QQ

(有用互質因式性質解到一半但卡住了@@

[asd768999 10]

http://tieba.baidu.com/p/1867452457

[曾阿牛 10]

注意到 n^5+2n^4+2n^3+2n^2+2n+1=(n+1)(n^4+n^3+n^2+n+1)　

其中 n+1 和 n^4+n^3+n^2+n+1 互質　所以　

n^5+2n^4+2n^3+2n^2+2n+1 是完全平方 若且唯若 n+1 和 n^4+n^3+n^2+n+1 是完全平方

所以　只要證明 (for n>3)　n^4+n^3+n^2+n+1 不是完全平方　

就足以證明 n^5+2n^4+2n^3+2n^2+2n+1 也不是

令

如果 n^4+n^3+n^2+n+1 是完全平方　則 b 是整數

以下將說明 b 不是整數　所以　n^4+n^3+n^2+n+1 不是完全平方

當 n 是偶數時　n^2+(1/2)n+1 是(正)整數　而且它和 b 的差為

也就是說　b 和一個整數距離不超過 5/8　所以 b 不會是整數

當 n 是奇數時　則考慮整數 n^2+(1/2)n+(1/2) 和 b 的差　也會小於1 ( for n>4 )　

所以也說明了 b 不是整數

此內容已被編輯, September 20, 2012 ,由 曾阿牛

[asd768999 10]

當 n 是偶數時　n^2+(1/2)n+1 是(正)整數　而且它和 b 的差為

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...}}<\frac{5}{8}

也就是說　b 和一個整數距離不超過 5/8　所以 b 不會是整數

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最後那個式子我看了有點迷惘......5/8這數字怎麼來的?

[曾阿牛 10]

嗯　阿牛寫太快了唷......　　這就補上

n 是奇數時的情況類似　所以阿牛偷懶沒有寫出來　(打這些算式也不輕鬆哩)

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順便補充一下　嚴格說起來　不只是要說明 b 與一個整數的差要小於1　

應該也要說明 它們的差大於0 ← 這部分因為太明顯所以沒作說明　

這樣才能保證 b 不是整數

譬如說　當 n 是奇數時　就在 n ＝ 3 時　n^2+(1/2)n+(1/2) 和 b 的差是 0

其它 ( 更大 ) 的奇數便不會造成差是0　　而題目的唯一解就發生在 n ＝ 3 囉

此內容已被編輯, September 20, 2012 ,由 曾阿牛

[asd768999 10]

嗯　阿牛寫太快了唷......　　這就補上

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...}}=\frac{5}{8}

n 是奇數時的情況類似　所以阿牛偷懶沒有寫出來　(打這些算式也不輕鬆哩)

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老實說我覺得這解法蠻新奇的......

怎麼會想到用n^2+n/2+1和n^2+n/2去比較的？

[曾阿牛 10]

大哉問　　主要的原因有兩個

第一　阿牛有做實驗　別懷疑　數學也需要做實驗　目的是觀察實驗結果　看看能不能找到解決問題的線索

至於這題目的實驗怎麼做　就是將 n ＝ 1 ～ 20 所對應的 b 值找出來 (當然是用電腦算的)

於是注意到了 b 的小數部分呈現了某種規律：

n 為偶數時 b 的小數接近 0.375　n 為奇數時 b 的小數接近 0.875　

才萌生了本題的做法

第二　阿牛能將小數的部分 用數學式具體的表現出來　← 這有點臭屁　但確實是事實

因為阿牛看過一個題目　該題需要確實的將小數部分決定出來才能解

雖然該題阿牛沒能自己解決　但是從該題所學到的方法靈活的運用在這題上　這點阿牛覺得很滿意

有興趣的話　阿牛把該題發在另一主題

[howt 10]

其實用估計注意到：

(2n^2+n)^2<4(n^4+n^3+n^2+n+1)<(2n^2+n+2)^2

就會得到4(n^4+n^3+n^2+n+1)=(2n^2+n+1)^2，整理一下即n^2-2n-3=0

不過原本題目可以不用這樣作，因為還有一個條件：n+1=a^2

令n^4+n^3+n^2+n+1=b^2

所以有b^2-a^2=(n^2+n+1)n^2

由於a、b互質，可得(b-a,b+a)=1或2，另外n則與n^2+n+1互質

[因此有(1)b-a=n^2、b+a=n^2+n+1 或 (2) b-a=(n^2)/2 、b+a=2(n^2+n+1)

算一下只有(1)有解n=3] => 這是錯誤推論

此內容已被編輯, September 25, 2012 ,由 howt

[曾阿牛 10]

由於a、b互質，可得(b-a,b+a)=1或2，另外n則與n^2+n+1互質

因此有(1)b-a=n^2、b+a=n^2+n+1 或 (2) b-a=(n^2)/2 、b+a=2(n^2+n+1)

Why?　May you give any detail reason?　Please.

此內容已被編輯, September 23, 2012 ,由 曾阿牛

[actino 10]

用這個比較好

"Why? Can you detail the reason? Please."

[howt 10]

Why?　May you give any detail reason?　Please.

case(1)是d=1

此時b-a=(n^2)/k、b+a=k(n^2+n+1) 或 b-a=k(n^2)、b+a=(n^2+n+1)/k

而a大約是√n、b大約是n^2，在n>3時差太多，所以只留k=1。

case(2)是d=2，也可以有個k，但理由同(1)

[曾阿牛 10]

case(1)是d=1

此時b-a=(n^2)/k、b+a=k(n^2+n+1) 或 b-a=k(n^2)、b+a=(n^2+n+1)/k

而a大約是√n、b大約是n^2，在n>3時差太多，所以只留k=1。

就來考慮case(1)

先詳述阿牛在 #9 所提出的疑問

howt 說：『(b-a,b+a)=1(有可能是2　但因為是討論case(1) 所以直接設定為1)，另外n則與n^2+n+1互質　因此有 b-a=n^2、b+a=n^2+n+1 』

這裡　看起來 howt 的意思是..　

某數 M 有兩個相近的分解　即 M ＝ c‧d ＝ u‧v　且 (c, d) ＝ (u, v) ＝ 1　因此有 c ＝ v 及 d ＝ v

針對此點　阿牛舉個反例　1680 ＝ 35‧48 ＝ 40‧42　此處 (35, 48) ＝ (40, 42) ＝ 1　但 35 不等於 40

回到 #11

此時b-a=(n^2)/k、b+a=k(n^2+n+1) 或 b-a=k(n^2)、b+a=(n^2+n+1)/k

而a大約是√n、b大約是n^2，在n>3時差太多，所以只留k=1。

這裡　看起來 howt 對於 k 的設定似乎是必為整數　但 k 不一定是整數　如上述反例

而且如果考慮一個更大的數 M　及其因數分解 M ＝ c‧d ＝ u‧v

很有可能 k ＝ c/u 會是一個很接近 1 的有理數　情況會很微妙　　所以阿牛不認為此法可行

或是　還請 howt 大大更加詳細說明　以解阿牛心中疑慮

所以　在 howt 大大說服阿牛之前　阿牛認為 howt 提出的用上下界包夾的做法是目前最簡潔的做法

此內容已被編輯, September 25, 2012 ,由 曾阿牛

[howt 10]

吐槽一下 (40,42)≠1

不過你說得的確是對的，像6*35=14*15

這N年前犯過的錯今日又再現了= =""

[曾阿牛 10]

吐槽一下 (40,42)≠1

嗯......　這應該是 Case 2 的反例　　最後一次回覆時　感覺上不是很專心

howt 在 #11 就是回覆 #9　阿牛不知道當時自己為什麼在 #12 再說明一遍問題　真是恍神了