今年數奧的兩題數論

[asd768999 10]

1.證明對於所有n≧3的正整數，且存在正實數a2,a3,a4.....an滿足a2 x a3 x a4 ...... x an =1，以下式子恆成立

(1+a2)^2 x (1+a3)^3 ....... x (1+an)^n > n^n

===========================

我發現這題我竟然只用n次方算幾就證明出來......

重看了一次我的証明雖然感覺有漏洞，但是又不知錯誤在哪裡。

想先請各位解看看。

2.找出所有正整數n，使得存在非負整數a1,a2,a3.......an使以下式子有解

１　　　１　　　１　　　　１　　　１　　　２　　　３　　　　n

－　＋　－　＋　－.......＋　－　＝　－　＋　－　＋　－......＋　－　＝　１　

(2^a1)　(2^a2)　(2^a3)　　　(2^an)　(3^a1)　　(3^a2)　(3^a3)　　(3^an)

上述這題我倒是完全不知如何下手就是......

此內容已被編輯, September 6, 2012 ,由 asd768999

[ck991021 10]

n次方算幾沒錯，你的題目的-要改成+

下面用奇偶性可以先去掉一半的整數，既然這樣當然是要證剩下的都可以

然後我不會了

你是國中生嗎？

[asd768999 10]

n次方算幾沒錯，你的題目的-要改成+

下面用奇偶性可以先去掉一半的整數，既然這樣當然是要證剩下的都可以

然後我不會了

你是國中生嗎？

抱歉我手殘打成了減號

稍微看了一下，我還看不太出來這題的奇偶性要怎麼找。

我證明n=3的情況下，過程中有一句「等號成立當a2=1，a3=1/2，這不可能」就是這一句讓我猶豫了很久

另外我目前國二升國三......

[ck991021 10]

這樣有什麼問題嗎？

對了既然是真的國中生，按慣例要先膜拜(拜)

[asd768999 10]

這樣有什麼問題嗎？

對了既然是真的國中生，按慣例要先膜拜(拜)

因為之前學到算幾時有做一些題目，有時會有一個問題就是算幾不等式所算出來的兩個「互相影響的變數」對於某式的最大值「並不會同時出現」，當然這問題很麻煩所以當時我就跳過了（默

我只是在思考這題會不會有這問題

我覺得是因為我對不等式的運算還是有些疑慮吧，尤其當我推到

{(1/(k-1) + 1/(k-1)....+1/(k-1)) + ak}/k ≧ {(ak / [(k-1)^(k-1)]}開k次方根

這一般項時，相乘後對項相消的結果太巧合，心中有點無法釋然的感覺

[ck991021 10]

我還是看不出這對這題的結果有什麼影響

它的等號就不成立了嘛

[asd768999 10]

我還是看不出這對這題的結果有什麼影響

它的等號就不成立了嘛

必須証原式恆大於n^n

而算幾相乘最後會變成≧

我只是對我消去等號的理由覺得很奇怪

怎麼樣知道「若aj=1/j-1時，等號才成立」，並且逆命題也是成立的，我對這邊不太熟。

[ck991021 10]

算幾成立條件：每項相等

[howt 10]

兩題難度也差太多...不愧是第6題

[曾阿牛 10]

1.證明對於所有n≧3的正整數，滿足a2 x a3 x a4 ...... x an =1，以下式子恆成立

(1+a2)^2 x (1+a3)^3 ....... x (1+an)^n > n^n

===========================

2.找出所有正整數n，使得存在非負整數a1,a2,a3.......an使以下式子有解

１　　　１　　　１　　　　　１　　　２　　　３　　　　ｋ

－　＋　－　＋　－.......　＝　－　＋　－　＋　－......＋　－　＝　１　

(2^a1)　(2^a2)　(2^a3)　　　(3^a1)　　(3^a2)　(3^a3)　　(3^ak)

第一題是不是要限制 a2 ～ an 必須是正實數

第二題我看不懂題目　等式左邊是無窮級數麼？(雖然我猜不是　但怎麼不把尾巴寫出來)

另外 等式中的 k 又是怎樣？　

雖然可以做合理的猜測 k 是怎樣的 k　但對於題目沒交付清楚的時候　阿牛實在不想輕舉妄動

[ck991021 10]

第一題是不是要限制 a2 ～ an 必須是正實數

第二題我看不懂題目　等式左邊是無窮級數麼？(雖然我猜不是　但怎麼不把尾巴寫出來)

另外 等式中的 k 又是怎樣？　

雖然可以做合理的猜測 k 是怎樣的 k　但對於題目沒交付清楚的時候　阿牛實在不想輕舉妄動

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=1&cid=16&year=2012&sid=af5f0f79136b02e7d2adb071949ace6f

[asd768999 10]

因為純粹憑記憶打出所以漏了許多部分請見諒

[曾阿牛 10]

Re #11 ck991021　感謝提供網址

Re #12 asd768999　阿牛只是想確定題目為何　這是解題的第一步　很重要的

只要樓主不嫌麻煩的話　以後再有題目時　寫完整就好了

推到　{(1/(k-1) + 1/(k-1)....+1/(k-1)) + ak}/k ≧ {(ak / [(k-1)^(k-1)]}開k次方根　這一般項

或許有人會說阿牛少見多怪　但阿牛還是要說　您這手法真神奇

可是在用了這麼神奇的手法之後　您卻不能判斷自己的做法是否正確　以及等式不能成立

阿牛覺得這是另一個神奇的地方

此內容已被編輯, September 5, 2012 ,由 曾阿牛

[ck991021 10]

Re #11 ck991021　感謝提供網址

Re #12 asd768999　阿牛只是想確定題目為何　這是解題的第一步　很重要的

只要樓主不嫌麻煩的話　以後再有題目時　寫完整就好了

或許有人會說阿牛少見多怪　但阿牛還是要說　您這手法真神奇

可是在用了這麼神奇的手法之後　您卻不能判斷自己的做法是否正確　以及等式不能成立

阿牛覺得這是另一個神奇的地方

我也覺得這很神奇(茶)

話說這題台灣隊得分率並沒有很高，對第二題來說....

其實有人用微積分硬爆(1+x)^k-lx>=0中l的最大值，結果很快....

嘛...這個手法好像在最近Russia的競賽裡出現過...

[悠閑 10]

樓上有聽說adaadaadaben跟小朋友怎麼解的呢?@@

[ck991021 10]

樓上有聽說adaadaadaben跟小朋友怎麼解的呢?@@

沒聽過欸...不過應該是正常解法

還有妳好閒...