【分享】三次方程式公式解

[五月飛雪 11]

[順利過完每一天~ 10]

這是大學才會教的吧?

看起來還真難，

.......三次都這樣複雜了，四次可能只知道題目是中文了

而數學不及格的可以解出五次= =|||||

為何令3uv+q=0?

[清純小百合 10]

感覺用牛頓法還快一點....

[五月飛雪 11]

最初由 清純小百合 發表

感覺用牛頓法還快一點....

這是公式解呀..

不然要比的話 直接微分豈不更快:p

[夜深 10]

看了這種東西

讓我打死都不唸數學系的心態更堅定了

還是大學通識課程就得上這些課程?

我還是比較喜歡微分:D

[五月飛雪 11]

最初由 夜深 發表

看了這種東西

讓我打死都不唸數學系的心態更堅定了

還是大學通識課程就得上這些課程?

我還是比較喜歡微分:D

我明明已經把它寫得很簡單了Q___Q

書上跟網頁上的都比較複雜耶...

[weiye 10]

化成缺二次項的三次函數之後，我還有看過一種方法是利用 cos3θ 三倍角公式求解，因為忘了是哪一本書了，所以我把它重打一次。

放在 http://mathpro.net/temp/cos3theta.swf (FlashPaper 格式)

然後是利用上面那個求解的方法來解看看下面的題目試試：

下面附上用數學軟體 Mathematica 求解(它應該是利用 Cardano 的一元三次方程式公式解)

[不會打籃球的巧克力 10]

天阿...學長們可不可以不要粉碎我的夢...

[introspective 10]

最初由 五月飛雪 發表

稍微寫詳細一點：

3uv=-q，則u^3v^3=-(q^3)/27，又u^3+v^3=r

由根與係數關係，可得u^3、v^3為

T^2-rT-(q^3)/27之兩根

(以下是硬爆的，不知道有沒有比較簡單的方法)

最後，令w為1的三次方根，則(x-u-v)(x-uw-vw^2)(x-uw^2-vw)=x^3-u^3-v^3-3uv=x^3+qx-r

故x的三根為(u+v)、(uw+vw^2)、(uw^2+uv)，即uw^k+vw^(3-k)，k=0~2

[milkgirl 10]

我覺得四方比三方簡單...

如果可以用牛頓當然就用牛頓

@@"~除非時間太多 生活太平淡

[shihmis 10]

複雜................................我太弱了...囧

[小李帥哥 10]

用三倍角的方法...

我大概看的懂..

不過..

若三次方程中

x^2項的係數不為0

也就是x^3+px^2+qx-r=0

也是一樣的算法嗎?

因為看樓上兩位大大提供的方法

前提都是考慮三次方程" x^3+qx-r=0 "

[九天驚虹 10]

最初由 小李帥哥 發表

用三倍角的方法...

我大概看的懂..

不過..

若三次方程中

x^2項的係數不為0

也就是x^3+px^2+qx-r=0

也是一樣的算法嗎?

因為看樓上兩位大大提供的方法

前提都是考慮三次方程" x^3+qx-r=0 "

可以

先不考慮二次項正是一個技巧

[weiye 10]

最初由 小李帥哥 發表

用三倍角的方法...

我大概看的懂..

不過..

若三次方程中

x^2項的係數不為0

也就是x^3+px^2+qx-r=0

也是一樣的算法嗎?

因為看樓上兩位大大提供的方法

前提都是考慮三次方程" x^3+qx-r=0 "

雪大的第一篇最後三行有寫到，如何經由變數變換消去二次項。

下面來討論一下，何以是那個變數變換。

對於任何一般的一元三次方程式 y^3 + a y^2 + b y + c = 0

經由變數變換，令 y = x - k 可以得到

(x - k)^3 + a (x - k)^2 + b (x - k) + c = 0

展開後，整理一下可以得到

x^3 + (a - 3 k) x^2 + (b - 2 a k + 3 k^2 ) x + (c - b k + a k^2 - k^3) = 0

所以如果取 k = a/3 ，則可以使二次項細數變成 0 啦。

當然變換之後的方程式解出來的解是 x = x0 的話，

那原來方程式的解就是 y = x0 - a/3 。