具有挑戰性的題目

[曾阿牛 10]

如題　　光看懂題意大概就很不容易了　

雖然阿牛覺得題目敘述的不好　但改寫題目又怕曲解題意　所以照打上來　如下：

[asd768999 10]

不好意思，我電腦問題圖片很不清楚可不可以打上原題目?

[曾阿牛 10]

Let ε in (0, 1) and n be a natural number.　We consider n positive real numbers x1, x2, ..., xn such that

　　　　for any i in {1, 2, ..., n} and for any j in {1, 2, ..., n},　xixj≦ε^|i-j|.

　　　　　 n

Show that Σ xi ≦ 1／(1-√ε).

　　　　　i=1　　　　　　　　

此內容已被編輯, July 23, 2012 ,由 曾阿牛

[howt 10]

(n=3就錯了吧，取ε=1/4，x_1=x_2=1/2000、x_3=1000/8

滿足題目條件，但與欲證結果不合)

抱歉耍笨了，x_3沒有≤1..

此內容已被編輯, July 25, 2012 ,由 howt

[冰凍仙草 10]

1／(1-√ε) 可以表示成以 √ε 為公比的等比級數

利用條件的不等式可得出 xi <= 1，並且 xi <= ε^(i-1) / x1，其中 i 為 2~n

上一個式子帶入 i=2 及 x2 <=1 ，就可解出 ε <= x1

因此 xi 最大的可能就是 ε^(i-1) / ε

再比較所求等式兩端即可得證

[曾阿牛 10]

Re #5 冰凍仙草　x2≦1 搭配 x2≦ε^(2-1) / x1 ＝ ε/x1　並不能擔保 ε≦x1

還是很感謝您的回覆

Re #4 howt　howt 重出江湖　阿牛滿心期待

目前阿牛也還在解這問題　只要一天解不出來　就算一天求救

[howt 10]

為方便起見先令ϵ^(1/2)=a

接下來用歸納法證明X1+X2+..+Xn ≤ 1+a+a^2+..+a^(n-1)

n=1、2顯然成立

設n=k時成立，則n=k+1時

若Xk+1≤a^k，則(X1+X2+..)+Xk+1≤ 1+a+a^2+..+a^k

若Xk+1≥a^k，則由X1Xk+1≤a^(2k)

可知X1≤a^k，又X2~Xk+1的條件限制

與X1~XK相同(只是足標平移而已)，故也有

X1+(X2+..+Xk+1)≤ 1+a+a^2+..+a^k

綜合以上，原題得證

[曾阿牛 10]

n=1、2顯然成立

n=2 好像沒有顯然成立

看來歸納法在這一題確實是大大的派上用場

阿牛對歸納法的尊敬　又更深一層了　感謝 howt 大大的指教

[hellwd0217 10]

(Σ Xi)^2. = (Σ Xi) (Σ Xj) = Σ Σ Xi Xj ≦ Σ Σ ε^|i-j| = Σ Σ (√ε)^2|i-j|

= Σ (√ε)^|i-j| Σ (√ε)^|i-j| ≦ (Σ (√ε)^i) (Σ (√ε)^j) ≦ [1／(1-√ε)]^2

　　　　　

[howt 10]

(Σ Xi)^2. = (Σ Xi) (Σ Xj) = Σ Σ Xi Xj ≦ Σ Σ ε^|i-j| = Σ Σ (√ε)^2|i-j|

= Σ (√ε)^|i-j| Σ (√ε)^|i-j| ≦ (Σ (√ε)^i) (Σ (√ε)^j) ≦ [1／(1-√ε)]^2

　　　　　

這證明的第二行的等號是錯的，第二行的第一個不等號也是錯的。

直接舉反例：

n=2，則由第一行可推出(x1+x2)^2 ≦ (2+2ε)

但是√(2+2ε) 是否會 ≦ 1／(1-√ε) ? 取ε->0+ 就知道不會

[howt 10]

n=2 好像沒有顯然成立

看來歸納法在這一題確實是大大的派上用場

阿牛對歸納法的尊敬　又更深一層了　感謝 howt 大大的指教

0 ≦ (1-a)(1-b) => a+b ≦ 1+ab = 1+ε ≦ 1+√ε

其實我也不用寫n=2...n=1就自動推到n=2了...

[曾阿牛 10]

... (1-a)(1-b) ...

　敢問　這與證明 n ＝ 2 的情形有什麼關係？　( b 又是什麼？ )

[howt 10]

　敢問　這與證明 n ＝ 2 的情形有什麼關係？　( b 又是什麼？ )

a就是x1、b就是x2阿

[曾阿牛 10]

a就是x1、b就是x2阿

原來如此　俺是用另一種方式說明 n ＝ 2 的情形　但沒有這麼簡潔　　　謝謝您的指教