組合數 C ( n, k )


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想法:

分子的n!代表n x (n-1) x (n-2) x ..... x 1,但要求出來的值是質數,又每一質數的標準分解式只能分解成 1 x 自己 ,所以我們只能留下分子的 1 和另一項質數。

分母的k! x (n-k)! ,因為0<k<n ,所以n-k<n 。 (- 1)

1.若n是質數

由1式,可以得到分母的質因數當中絕對不可能有n,因為k與n-k都小於n,又n只能有一種分解形式1 x n,故分子n無法被消去,即所要留下的就是分子的n,其他 (n-1) x (n-2) ..... x 2 = (n-1)! 通通消去。

接下來就卡了

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考慮n(n-1)....(n-k+1)/k!

寫成 (nx(n-1)(n-2)...(n-k+1)/(k-1)!)/k=n(某正整數=a>1)/k

結果是質數,所以結果會是除以k後把an變成1p

由於不能把n變成1所以是a變成1 n變成p

所以p是n的因數

由於組合數nCk不小於n所以k=1,n-1

n是質數

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  • 3 weeks later...

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