提供並求助一些國中數學題

[asd768999 10]

有些題目看起來不是那麼難，但是陷阱多，請多注意。

盡量用國中學的範圍來解題，三角函數可用。

4.5.7我目前只有答案，不知是如何算出來的，請高手提供。

答案請反白。

1.絕對值小於2009的所有被三除餘2的整數之合是：

Ans: -1339

2.已知正整數p=6，嘗試找出一個最小的正整數q(q>1)，使得pxq得到的數字只含有1和0。則q=？

Ans: 185

3.若板子上有排成3x4的矩形的12顆釘子，現將有4顆釘子的其中一邊與3顆釘子的一邊的共用釘子拿下，使其剩下11顆釘子，那麼這11顆釘子共可以圍成幾個矩形？

Ans: 14

4.在三角形ABC中，已知線段BC=4，角BAC=45度，則三角形ABC的最大面積為？

Ans: 4(1+根號2)平方單位

5.在三角形ABC中，線段AB=線段AC，線段CE是邊AB上的中線，延長線段AB到D，使線段BD=線段AB，設線段CE=x，線段CD=y，則y與x的關係為？

Ans: y=2x

6.在一邊長為5的正方形ABCD的AB邊上取一點E，使得BE=2，P是AC上一動點，則PB+PE的最小值為？

Ans: 根號34

7.已知函數y=ax^2+bx+c中，a:b:c=1:2:3，且函數有最小值為4，則此函數的解析式為？

Ans: y=2x^2+4x+6

補充：

8.1^2 + 2^3 + 3^4 + 4^5 + 5^6 ...... + 2008^2009 + 2009^2010 的末位數字是：

Ans : 5

9.如果a,b,c,d是四個互不相等的負數，其中a最小，d最大，且a/b = c/d ，那麼a+d與b+c的大小關係是：

Ans: a+d < b+c

10.已知正數a,b滿足a^3b + ab^3 - 2a^2b + 2ab^2 = 7ab - 8 ，則a^2 - b^2 =

Ans : 3

11.正三角形ABC內所在平面有一點P，使得三角形PAB、三角形PBC、三角形PCA都是等腰三角形，則這樣的P點有幾個?

Ans: 10

12. 2x^2 - 4xy + 4y^2 - 6x + 9 = 0 則(18y)開x次方根的值為：

Ans : 3

上述幾題我都不太明白。

此內容已被編輯, July 21, 2012 ,由 asd768999

[曾阿牛 10]

第七題　因 a：b：c ＝ 1：2：3　故　ax^2+bx+c ＝ ax^2+(2a)x+(3a) ＝ a(x+1)^2+2a　可看出最小值是 2a

所以　2a 即是題目說的 4　即 a ＝ 2　於是　ax^2+bx+c ＝ 2x^2+4x+6

第五題　將題目所述之圖畫好之後　設 線段AC 中點為F　因題目給 AB長 ＝ AC長　所以 CE長會等於 BF長

在 △ADC 中　B 是 AD 中點　F 是 AC 中點 所以有 CD長是 BF長的兩倍　所以 2x ＝ y

第四題　這題還沒有想到簡單方式來說明　　解題的主要想法如下：

既知 BC 長是固定的 4　所以　如果 A 離 BC 越遠　則△ABC 的面積越大

在∠A 必為 45度的限制下　A 在 BC 的中垂線上會達到距離最遠

[asd768999 10]

第七題　因 a：b：c ＝ 1：2：3　故　ax^2+bx+c ＝ ax^2+(2a)x+(3a) ＝ a(x+1)^2+2a　可看出最小值是 2a

所以　2a 即是題目說的 4　即 a ＝ 2　於是　ax^2+bx+c ＝ 2x^2+4x+6

第五題　將題目所述之圖畫好之後　設 線段AC 中點為F　因題目給 AB長 ＝ AC長　所以 CE長會等於 BF長

在 △ADC 中　B 是 AD 中點　F 是 AC 中點 所以有 CD長是 BF長的兩倍　所以 2x ＝ y

第四題　這題還沒有想到簡單方式來說明　　解題的主要想法如下：

既知 BC 長是固定的 4　所以　如果 A 離 BC 越遠　則△ABC 的面積越大

在∠A 必為 45度的限制下　A 在 BC 的中垂線上會達到距離最遠

第四題我後來跟人討論出用餘弦定理配上算幾不等式可以輕鬆解出。

[曾阿牛 10]

第四題我後來跟人討論出用餘弦定理配上算幾不等式可以輕鬆解出。

阿牛來幫您寫完

由餘弦定理得　16 ＝ bb ＋ cc －√2 bc ≧ 2bc －√2 bc ＝ ( 2 －√2 ) bc

故 △ABC 面積 ＝(1/2) bc sin A ＝ (1／2√2) bc ≦(1／2√2) (16／( 2 －√2 )) ＝ 4 ( 1 ＋ √2 )

[asd768999 10]

第8題我只想到把個位數從0~9分十種情況挑出來討論末位數字後再相加，花了大約十分鐘才做出來，有什麼比較快的方法嗎？

[曾阿牛 10]

第8題　這題確實是需要觀察每一個數字其個位數的規律　雖然有十個字元　但規律只有兩種

譬如說　想要觀察　4^5　4^15　4^25　4^35......　的規率時

先觀察　4^1　4^2　4^3　4^4　4^5 ......　其對應之末位為　4　6　4　6　4　週期為2

所以 4^5 的末位 相當於 4^1 的末位　　同理　可得　4^5　4^15　4^25　4^35......　的末位皆是 4

0, 1, 5, 6, 8, 9 都是如此　　2, 3, 7 則呈現另一種規律　都很單純　只是確實有些費時

第9題　考慮負數的時候　數字大小恰好與絕對值的大小顛倒　所以以下阿牛先換成正的

令 A ＝ －a　B ＝ －b　C ＝ －c　D ＝ －d　則有 A＞B＞C＞D＞0 且 A / B ＝ C / D

再令 A / B ＝ C / D ＝ u ( 注意 u ＞1 因 A＞B　C＞D) 　則　A ＝ Bu　C ＝ Du　所以有

A＋D ＝ Bu＋D ＝ B＋D＋ (u－1)B ＞ B＋D＋ (u－1)D ＝ B＋Du ＝ B＋C

最後得　a ＋ d ＜ b + c

第10題　令 ab ＝ u 以及 a － b ＝ v　則有 (a^2＋b^2) ＝ (a－b)^2＋2ab ＝ v^2＋2u　於是

可知 v ＝ 1 且 u ＝ 2　再回頭求得 b ＝1 和 a ＝ 2　故 a^2－b^2 ＝ 3

第11題　從答案可以看出 p 可以在正三角形之外

除了垂心(剛好也是重心)之外　另外還有9個點可以當 p

先做好正三角形ABC的圖　　過 A 做 線段BC的垂線　再將此垂線延長(頭尾都要延伸)

在這延長的垂線上　就有三個點可以當 p　

前兩個是：以A為圓心　以AB(即三角形邊長)為半徑　畫弧　交 延長的垂線的兩點

另一個是：以B為圓心　以AB(即三角形邊長)為半徑　畫弧　與延長的垂線相交(非A)的那點

剩下的6點　同理可找

第12題　與 第10題雷同

[SFE 10]

1.絕對值小於2009的所有被三除餘2的整數之合是?

先說明應該是求"和"；而不是求"合"。

設n為整數且|n|<2009

==>-2009<n<2009

又n被3除餘2可分成兩部分來討論

(1)當0<=n<2009時：

n=2,5,8,...,3*668+2共669個數

其和為2+5+8+...+2006

=(2+2006)*669/2

=671,676

(2)當-2009<n<0時：

因餘數需為正數2

故n=3*(-1)+2,3*(-2)+2,...,3*(-670)+2共670個數

其和為(-1)+(-4)+...+(-2008)

=[(-1)+(-2008)]*670/2

=-673,015

由(1)(2)得合於條件之n的和為

671,676+(-673,015)

=-1,339

-----------------------------------------------------

本題亦可不要先求出各別的和，先列出符合的n值

(1)當0<=n<2009時：

n為

3*0+2,3*1+2,3*2+2,...,3*668+2

(2)當-2009<n<0時：

n為

3*(-1)+2,3*(-2)+2,...,3*(-670)+2

故其和為

[(3*0+2)+(3*1+2)+(3*2+2)+...,+(3*668+2)]+{[3*(-1)+2]+[3*(-2)+2]+...,+[3*(-670)+2]}

=(3*0+2)+{(3*1+2)+[3*(-1)+2]}+{(3*2+2)+[3*(-2)+2]}+...+{(3*668+2)+[3*(-668)+2]}+[3*(-669)+2]+[3*(-670)+2]

=2+4*668+(-2005)+(-2008)

=-1339

此內容已被編輯, August 22, 2012 ,由 SFE
增加內容

[SFE 10]

2.已知正整數p=6，嘗試找出一個最小的正整數q(q>1)，使得pxq得到的數字只含有1和0。則q=？

答案是185,將q從個位往前推即可,

(1)先算q的個位：

因6*(q的個位)的個位數不可能為1,故其個位必需為0

此時q的個位數可能為0或5

先看在q的個位為5時

(2)再算q的十位：

在q的個位為5,6*5=30,其十位被6乘後需再加3

因q的十位被6乘之個位不可能為7,故q的十位被6乘之個位需為8

此時可知q之十位數可能為3或8

(3)再算q的百位：

a.當q的十位數為3時,6*35=210,故其百位被6乘後需再加2

因q的百位被6乘之個位不可能為9,故q的百位被6乘之個位需為8

此時可知q之百位數可能為3或8

b.當q的十位數為8時,6*85=510,故其百位被6乘後需再加5

因q的百位被6乘之個位不可能為5,故q的百位被6乘之個位需為6

此時可知q之百位數可能為1或6

又6*185=1110,6*685=4110

由上的討論可知185為q的最小值

(以上寫的不甚清楚,各位可自行算算看)

此內容已被編輯, August 22, 2012 ,由 SFE
增加內容

[KBCCB 10]

2.

乘出來的數是6的倍數

且由1和零組成

這題有個很簡單的想法

p*q有因數6=3*2

p*q有因數2->個位數為0

p*q有因數3->再寫上111

因此p*q=1110

p=6 q就是185囉

[SFE 10]

4.在三角形ABC中，已知線段BC=4，角BAC=45度，則三角形ABC的最大面積為？

因BC= 4且 A 離 BC 越遠則△ABC 的面積越大(這點阿牛有提到)

作三角形ABC的外接圓,令圓心為O

因角BAC=45度,所以角BOC=2(角BAC)=90度

又因BC=4,所以OB=OC=2(根號2)

過O作BC的中垂線交圓O於A'點,交BC於H點

因此時A'為角BAC=45度時距BC最遠的點,

故此時三角形A'BC面積為最大

又A'H=A'O+OH=2(根號2)+2

所以三角形ABC的最大面積為

(1/2)*4*[2(根號2)+2]

=4*[(根號2)+1]

*這個觀念民國70年高雄區高中聯考有考過,題目如下：

圓O半徑為1,弦AB=(根號3),今欲在圓周上取一點C,使三角形ABC之面積為最大,此時三角形ABC面積為?

<Ans>:3(根號3)/4